PTSI Suites Exercice

[vintagevince]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour un exercice de suites dont voilà l'intitulé :

On considère deux réels a et b vérifiant 0
{a(o)=a b(0)=b

{a(n+1)= racine( an x bn )

{b(n+1)= ( an + bn )/2



1) Montrer que an < bn (inferieure ou egale)

--> J'ai essayé de procéder par récurence mais je suis bloqué au moment de comparer a(n+1) et b(n+1)...

2) Montrer que (an) est croissante et que (bn) est décroissante.

--> c'est bon.


3) Montrer que (an) et (bn) sont convergentes.

--> Je n'y arrive pas, vu les questions précédentes il faut sans doute monter que (an) est majorée et (bn) minorée...

4) Montrer que :

lim (an) = lim (bn)

--> Je ne trouve pas non plus.


Merci beaucoup de votre aide !

[XENSECP]

La 1ère question c'est tellement classique... la comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique ^^



Tellement classique

[vintagevince]

[quote="XENSECP"]La 1ère question c'est tellement classique... la comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique ^^

[tex](\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 > 0 => x - 2 \sqrt{x} \sqrt{y} + y > 0 => \sqrt{x} \sqrt{y} 0 ? ça va paraitre louche ^^.

[SimonB]

merci beaucoup ! mais comment on peut savoir qu'il faut partir de

(sqrt{x} - sqrt{y})^2 > 0 ? ça va paraitre louche ^^.

Bah, "la fin justifie les moyens". Sinon, pour la réflexion il paraît plus logique de partir dans l'autre sens ; tu veux comparer et , ce qui conduit à étudier leur différence et à faire quelques manipulations élémentaires, comme mettre au carré pour enlever ces affreuses racines).

Pour la 3, montre par récurrence que les deux suites sont inférieures à max(a,b) et supérieures à min(a,b).

[XENSECP]

merci beaucoup ! mais comment on peut savoir qu'il faut partir de

(sqrt{x} - sqrt{y})^2 > 0 ? ça va paraitre louche ^^.

Louche ? Un carré est toujours positif (ou nul) ! Whaa...

Ma démonstration est la plus efficace... fais ce que tu veux ^^

[vintagevince]

Louche ? Un carré est toujours positif (ou nul) ! Whaa...

Ma démonstration est la plus efficace... fais ce que tu veux ^^

Nan mais je veux dire que c'était grillé de démarer direct comme ça (oui oui j'ai trouvé ça tout seul^^), mais la reflexion dans l'autre sens est logique.

Merci à vous.

[vintagevince]

Puis-je avoir une piste pour la question 4, en gros il faut montrer que sup(an) = inf(bn) je pense...mais comment ? merci encore :happy2:

[XENSECP]

C'est grillé ? Non dans le supérieur, on appelle ça astuce et c'est tellement classique que tu le trouves dans tous les bouquins !

Pour la 4, appelle x la limite de an et y la limite de bn et résous le système (car limite de an = x = lim (an+1)) ^^

[vintagevince]

Désolé je ne comprends pas quel système je dois poser... :hein: