Ptite question d'intégrale

[galereman]

Tout d'abord, bonsoir à tous et j'espère que vous serez en mesure de m'aider :

voila je cherche à déterminer la primitive de : 1/(1+x^3) ; il faudrait bien m'expliciter la démarche, j'ai passé 2 heures dessus :help:

je vous remercie par avance, et souhaite à tout le monde une excellent nuit !

[zorg]

Il faut commencer par décomposer en éléments simples la fraction ratinnelle 1/(1+x^3).

La DES s'écrit:

Je te laisse calculer a,b et c.

La primitive de 1/(x+1) est ln|x+1|

Pour la primitive de , il faut faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur.

où k=c-b/2.

La première fraction est du type u'/u et s'intégre facilement.

Pour la deuxième, il faut écrire . En mettant en facteur 3/4, on a une fraction après changement de variable du type 1/(1+u^2) qui s'intègre en arctan(u)

[serge75]

Malheureusement, il n'y a rien d'autre à faire qu'une décomposition en éléments simples.
-1 est racine de 1+x^3, et on factorise donc : 1+x^3=(1+x)(1-x+x²), avec (1-x+x²) irréductible sur R.
Donc 1/(1+x^3) s'érit sous la forme a/(1+x)+(bx+c)/(1-x+x²).
(NB : si tu ne connais pas la DES sur R, décompose sur C et regroupe les conjugués).
a/(1+x) se primitive sans problème.
Pour (bx+c)/(1-x+x²), tu fais d'abord apparaitre en haut la dérivée du bas, en faisant en sorte d'ajuster les termes en x, de sorte qu'il ne reste plus qu'une constante en terme résiduel. Concrètement, tu écris :
(bx+c)/(1-x+x²)=(b/2)(2x-1)/(1-x+x²)+k/(1-x+x²), avec k=c+(b/2). Le terme (2x-1)/(1-x+x²) se primitive alors en ln|1-x+x²|.
(NB : si b est nul, ignorer cette étape).
reste enfin le terme en k/(1-x+x^2). Tu mets le dénominateur sous forme canonique et bidouilles pour reconnaître de l'arctangente :
1/(1-x+x²)=1/((x-(1/2))²+(3/4)). On factorise le dénominateur par 3/4 :
1/(1-x+x²)=(4/3)/(1+((2x-1)/sqrt(3))²).
Une primitive en est donc (2sqrt(3)/3)arctan((2x-1)/sqrt(3)).
Bon courage pour les calculs.

[serge75]

tiens, zorg m'a devancé !