Prouver que la fonction x -> 1/x est continue

[chombier]

Bonjour à tous,

Ces derniers jours j'ai cherché à me convaincre que la fonction définie sur par : est continue.

J'ai lu plusieurs démonstrations, l'une d'elle a retenu mon attention. Elle est technique et utilise très peu d'outils : c'est un peu la démonstration qu'on ferait avec deux silex . Elle utilise la caractérisation de Weierstrass, et elle prouve donc que :



Seulement voila, l'auteur ne donne pas sa démarche, il sors un de son chapeau (une valeur qui dépends de et de ) et prouve qu'il conviens, mais il n'explique absolument pas comment il a trouvé cette valeur.

J'ai donc essayé de retrouver un qui convienne, en partant de rien. Je n'ai pas réussi. C'est là que j'ai besoin d'aide

D'une façon générale, si je vous demandais la preuve qu'il existe un tel que , comment vous-y seriez-vous pris ?

Quel auriez-vous trouvé ?

Merci d'avance !!!

[GaBuZoMeu]

On se donne et et on veut réaliser

On veut que le dénominateur ne soit pas trop petit. On peut s'en assurer en imposant , ce qui entraîne .
Il reste alors à réaliser .

Finalement, en posant , on a gagné.

[chombier]

Merci !

C'est le même que El Hage Hassan. Ca a quand même un côté magique ce genre d'exercice, d'autant que beaucoup de réponses conviennent, par exemple conviens aussi !

Perso j'ai essayé de mon côté, j'ai fini par trouver , mais il y a 2 ou 3 pages de calcul, et pour prouver que ce conviens, c'est un peu plus de travail.

Au final j'imagine qu'il n'y a pas de recette miracle. Si tu as, si quelqu'un a des exercices pour s'entrainer (à majorer ?), ça m'intéresse.

[GaBuZoMeu]

C'est le genre de chose où il ne faut pas s'embêter à trop finasser.