Prouver que cette somme partielle n'est pas une martingale

[alice2004]

Bonjour à tous,

Je viens de commencer un cours sur les martingales et j'ai besoin d'un petit coup de pouce (il me faut un petit déblocage je pense ! ) :triste:

rmq: je note les conditions: COND car je ne trouve pas la bonne touche

Soient {Xn, n>=1 v.a. et i.i.d., de loi
{+1 avec la probabilité p et -1 avec la probabilité q càd (1-p)
(random walk)

Sn=X1 + ... + Xn , n>=1 et S0=0 somme partielle

Prouver que Sn n'est pas une martingale par rapport à Xn, que faut-il modifier pour qu'il y ait martingale ?

Condition 1) l'espérance est finie

E(abs(Sn)) < infini OUI , somme des espérances (ok)

Condition 2) E(Sn+1 COND X1, ... , Xn ) = Sn ?

mon développement:

E(Sn+Xn+1 COND X1, ... , Xn )
E(Sn COND X1, ... , Xn ) + E(Xn+1 COND X1, ... , Xn )
Sn + E(Xn+1)
Sn+ 1p - 1q
Sn+ p - q

Je conclus donc:
{Sn} n'est pas une martingale par rapport à {Xn}
{Sn - (p-q) } est une martingale par rapport à {Xn}

OR
La réponse finale est {Sn - n(p-q) } est une martingale par rapport à {Xn}

Pourquoi n apparait alors que à la fin du développement, il n'y a juste que - (p-q) à retrancher ?

Merci d'avance pour votre aide !

[arnaud32]

tu as
E(Sn+1 COND X1, ... , Xn )= Sn + p - q= Sn+ (n+1 -n)(p-q)
donc
E(Sn+1 -(n+1)(p-q) COND X1, ... , Xn )= Sn -n(p-q)

[alice2004]

Merci arnaud32 pour ta réponse,

Mais je ne vois pas d'où vient le (n+1 -n)(p-q)

[arnaud32]

Merci arnaud32 pour ta réponse,

Mais je ne vois pas d'où vient le (n+1 -n)(p-q)

n+1 -n=1 donc (n+1 -n)(p-q) = p-q

[alice2004]

n+1 -n=1 donc (n+1 -n)(p-q) = p-q

E(Xn+1 COND X1, ... , Xn ) = (n+1 -n)(p-q)

Pouvez-vous m'expliquer ce résultat ?
La condition tombe vu que les Xn sont indépendants
Donc = E(Xn+1)

Je dirai juste:
E(Xn+1) = p-q

1) je ne comprends pas pourquoi les n doivent apparaitre.
2) même si le n apparaît, il disparait, donc pourquoi devrions-nous retrancher n(p-q) ? et pas n - q ?

merci !