Prouver que cet Endomorphisme n'a pas de valeurs propres

[Baduld]

Bonjour, en pleine révision pour des partiels en Algèbre, je refais une série d'exercice, mais je suis bloqué sur celui-là.

Autant pour le a), j'ai trouvé comme polynôme annotateur, mais pour le petit b, je sais vraiment pas comment commencer. J'ai essayé d'utiliser la propriété d'une valeur propre c'est à dire :

et , mais je sais vraiment pas comment continuer.

Pourriez vous me donner des indications ? Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Une valeur propre , c'est avant tout un scalaire (donc ici un réel) tel qu'il existe un vecteur non nul vérifiant .

Et, ici, vu que tu sait que , c'est l'endomorphisme nul, ben y'a un truc assez évident qui devrait te venir à l'esprit . . .

P.S. Et si tu veut mon opinion, tant que tu rédigera en écrivant des trucs du style du style "la propriété de la valeur propre c'est " sans préciser ce qu'est (à savoir un vecteur qui, de plus, est, non nul), ni si cette propriété est vrai pour tout les vecteurs ou bien pour au moins un vecteur , et bien . . . tu ira droit dans le mur . . .

[Baduld]

Salut,
Une valeur propre , c'est avant tout un scalaire (donc ici un réel) tel qu'il existe un vecteur non nul vérifiant .

Et, ici, vu que tu sait que , c'est l'endomorphisme nul, ben y'a un truc assez évident qui devrait te venir à l'esprit . . .

P.S. Et si tu veut mon opinion, tant que tu rédigera en écrivant des trucs du style du style "la propriété de la valeur propre c'est " sans préciser ce qu'est (à savoir un vecteur qui, de plus, est, non nul), ni si cette propriété est vrai pour tout les vecteurs ou bien pour au moins un vecteur , et bien . . . tu ira droit dans le mur . . .

Re

Déjà merci pour votre réponse rapide, et vous avez tout à fait raison sur ma rédaction !
Il est vrai que j'ai manqué de rigueur sur ce coup la, dans ma tête il est clair que est un vecteur non nul et que les vecteurs propres de sont tous les vecteurs non nuls vérifiant , et que , scalaire, est une valeur propre de s'il existe un vecteur non nul v tel que .

Enfin bref pour revenir à l'exercice, en calculant le discriminant du polynôme caractéristique de , je tombe sur un discriminant négatif. Suis-je sur la bonne voie ?

[Ben314]

Oui et non :
Il faudra effectivement utiliser le fait que X^2-X+1 n'a pas de racine réelle pour conclure.
Mais ce polynôme n'est surement pas le polynôme caractéristique de l'endomorphisme vu que le polynôme caractéristique a pour degré la dimension de l'espace sur lequel agit l'endomorphisme, donc ici il est de degré 4.

Vu que et que c'est l'endomorphisme nul, ce qui devrait te venir à l'esprit, c'est d'évaluer .

[Baduld]

Oui et non :
Il faudra effectivement utiliser le fait que X^2-X+1 n'a pas de racine réelle pour conclure.
Mais ce polynôme n'est surement pas le polynôme caractéristique de l'endomorphisme vu que le polynôme caractéristique a pour degré la dimension de l'espace sur lequel agit l'endomorphisme, donc ici il est de degré 4.

Vu que et que c'est l'endomorphisme nul, ce qui devrait te venir à l'esprit, c'est d'évaluer .

Re,

En suivant vos indications, j'ai : , ce qui donne par la suite, en supposant , =

Et ensuite je résous

C'est bien ça ?