Prouver qu'un nombre est réel

[adri-du-69]

Bonjour je viens de rentrer en L1 Maths appliqués et sciences sociales (MASS) et j’ai un petit problème pour prouver qu’un nombre est réel.

;) = ;)(27+6;)21) +;)(27-6;)21)

Montrer que ce nombre est réel.

J’ai déjà pas mal avancé sur cet exercice.
Je ne vous explicite pas tout, mais j’ai d’abord mit l’équation au cube puis je l’ai développée pour en arriver à :

;)3 = 54 + 3(;)(27+6;)21) )²(;)(27-6;)21) ) + 3(;)(21+6;)21) )(;)(27-6;)21) )²

Je n’arrive plus à continuer.
Me suis-je tromper jusqu’ici ?
Je sais que l’on retrouve ;) ensuite mais je ne trouve pas comment faire.

Merci de votre aide.

[leon1789]

Bonjour je viens de rentrer en L1 Maths appliqués et sciences sociales (MASS) et j’ai un petit problème pour prouver qu’un nombre est réel.

= (27+6;)21) +;)(27-6;)21)

Montrer que ce nombre est réel.

heu... comment pourrait-il ne pas être réel ? Toutes les opérations utilisées vont de R dans R !

[adri-du-69]

heu... comment pourrait-il ne pas être réel ? Toutes les opérations utilisées vont de R dans R !

Erreur de ma part, il faut que je montre que ce nombre réel est un entier naturel que l'on doit déterminer.
On peut s'aider en montrant que est solution d'une équation du troisième degré à coefficients entiers.

[jlb]

Salut, pose a= ;)(27+6;)21) et b=;)(27-6;)21) tu dois avoir ab=-3 (vérification facile)et on va montrer que a+b=3

Du coup a et b sont solutions de x²-3x-3=0, tu peux trouver leur expression.

Il te reste à vérifier que cela s'écrit sous la forme initiale ( tu calcules le cube des expressions par exemple)

[Doraki]

Bonjour je viens de rentrer en L1 Maths appliqués et sciences sociales (MASS) et j’ai un petit problème pour prouver qu’un nombre est entier.

= (27+6;)21) +;)(27-6;)21)

Montrer que ce nombre est un entier.

Tu ne le sais peut-être pas, mais le seul moyen que y soit un entier est que (27+6;)21) soit un cube dans l'anneau des entiers de Q(;)21), qui est Z[(1+;)21)/2].
donc qu'il existe a et b (entiers ou demi-entiers) tels que (a+b;)21)^3 = (a^3+63ab²) + (3a²b+21b^3) = 27+6;)21
Donc on cherche a et b tels que a^3+63ab² = 27 et 3a²b+21b^3 = 6

Si on y tient on peut étudier cet anneau, et étudier la factorisation en idéaux premiers de (27+6;)21) puis voir si c'est à le cube d'un idéal puis voir si cet idéal est principal (x) puis voir si on peut trouver une unité u qui ferait que (ux)^3 = 27+6;)21. C'est pas follement simple.

Seulement quand on a une calculatrice, les choses sont plus simples :

A la calculatrice on remarque que y est quand même vachement proche de 3 (il suffit en fait de montrer que 2.5 < y < 3.5), et on en déduit que si effectivement la question dit vrai, alors a = 3/2.
Du coup b² = (27-a^3)/63a = 1/4, et donc b = 6/( 3a²+21b²) = 1/2 (au passage, (1/2)² = 1/4 et donc on a bien une solution au système et donc la question disait vrai)

Là tu prends ta plus belle feuille, et tu écris :

"Montrons que (27+6;)21) +;)(27-6;)21) = 3 :

((3+;)21)/2)^3 = (27+27;)21+189+21;)21)/8 = 27+6;)21,
((3-;)21)/2)^3 = (27-27;)21+189-21;)21)/8 = 27-6;)21,
donc (27+6;)21) +;)(27-6;)21) = (3+;)21)/2 + (3-;)21)/2 = 3."

[chan79]

Erreur de ma part, il faut que je montre que ce nombre réel est un entier naturel que l'on doit déterminer.
On peut s'aider en montrant que est solution d'une équation du troisième degré à coefficients entiers.

Ce nombre est visiblement obtenu avec la méthode de Cardan.
On retrouve assez facilement l'équation: x³+9x-54=0 dont 3 est la seule solution réelle.

[Sa Majesté]

Ce nombre est visiblement obtenu avec la méthode de Cardan.
On retrouve assez facilement l'équation: x³+9x-54=0 dont 3 est la seule solution réelle.

C'était comme ça que j 'avais fait aussi :zen: