Prouver la convergence à l'aide de sous-suites

[Grumm]

Bonjour tout le monde !

Nouvellement intégré en prépa MPSI je me retrouve face à mon premier DM. Malheuresement je n’arrive pas à répondre de façon concluante à l’une des question posée. :cry: Je me présente donc à vous en esperant que vous puissiez me donner une piste !
L’exercice se présente sous cette forme :

"Soit une suite Un avec n ;) N, telle que U(3n+2), U(2n) et U(4n+1) convergent.
Peut on déduire que Un converge ?"

J'ai commencé l'exercice en prouvant l'unicité de la limite de U(3n+2), U(2n) et U(4n+1)
U(3n+2) converge en l
U(2n) converge en l'
U(4n+1) converge en l"

U(6n+4) est une suite extraite de U(2n) et U(3n+2)
donc U(6n+4) converge vers l et U(6n+4) converge également vers l'
d'où l=l'

De la même façon je prouve que U(8n+2) converge vers l' et l"
d'où l'=l"

Par transitivité l=l'=l"
Donc les trois suites convergent vers la même limite l

Voilà ou j'en suis, malheuresement je ne trouve plus après ça !
J'ai tenté de prouver que U(3n+2) couplé à U(4n+1) était équivalent à U(2n+1) mais ce n'est pas le cas. Tous les termes de Un avec n impair ne sont pas recouverts par ces deux fonctions.

Mes questions sont donc : - Faut il que l’intégralité des termes de la fonction Un soient recouvert par les sous-fonctions pour que je puisse conclure la convergence ?
Fais-je totalement fausse route sur la méthode à appliquer en seconde partie ?

D'avance merci pour votre aide !

PS : Je compte faire ma présentation sur le site ce soir en rentrant, pardonnez moi pour mon arrivée un peu brouillon.

[Luc]

Salut!

La méthode que tu as utilisée est bonne si tu veux montrer que converge. Malheureusement ici c'est faux. En fait on ramène le problème à une question d'arithmétique : presque tout entier est-il de la forme 2n, 4n+1 ou 3n+2? La réponse est non : il y a une infinité d'entiers qui ne sont pas de cette forme.
En effet, tous les 3+12k sont impairs, congrus à 0 modulo 3 et à 3 modulo 4. On a aussi tous les 7+12k sont impairs, congrus à 1 modulo 3 et à 3 modulo 4. Donc on peut imaginer une suite qui vaut 0 sur les sous suites 2n; 4n+1 et 3n+2 et qui vaut 1 sur les sous suites 3+12n et 7+12n. Cette suite est bien définie (tout entier est d'une de ces formes) et ne converge évidemment pas.

[Grumm]

Merci beaucoup pour ta réponse Luc ! :happy2:
Elle est tout à fait claire et je pense pouvoir finir cet exercice grâce à toi !

Avec un ami on avait déjà pensé aux modulos, mais nous n'avions pas su utiliser correctement l'outil ! Du coup on avait (à tort) jeté aux oubliettes cette idée.
Merci de l'avoir rappelé à notre bon souvenir ! :++:

[Luc]

Merci beaucoup pour ta réponse Luc ! :happy2:
Elle est tout à fait claire et je pense pouvoir finir cet exercice grâce à toi !

Avec un ami on avait déjà pensé aux modulos, mais nous n'avions pas su utiliser correctement l'outil ! Du coup on avait (à tort) jeté aux oubliettes cette idée.
Merci de l'avoir rappelé à notre bon souvenir ! :++:

De rien :lol3:
Je pense que tu reverras les modulos cette année, pendant les chapitres d'arithmétique.