Propriétés d'une application de E dans F

[chombier]

Bonjour à tous,

Dans tout ce topic, f est une application de E dans F. A et B sont inclus dans E.

Ma réfléxion a commencé là, devant ces propositions :



Au départ, j'ai été très surpris, j'ai fini par m'en convaincre avec des schémas et en refaisant les démonstrations. Ca commence à peine à me paraitre naturel.

En revanche, j'ai beaucoup plus réfléchi à celle-ci, et qui ne me paraissait pas aller de soi du tout :



Evidemment la démonstration n'est pas dans mon livre, j'ai donc été amené à la refaire :

Proposition :

Démonstration : Soit

donc

donc

Or donc

et donc

finalement, , autrement dit,

Comme y était un élément quelconque de .

On a bien démontré que :

Première satisfaction (je serais cependant rassuré qu'on me confirme que ma démonstration est exacte).

Cependant, pendant mes recherches, j'ai conjecturé autre chose :



Moi ça me paraissait mieux, alors j'ai aussi essayé de le démontrer :

Proposition :

Démonstration : (On procédera par double inclusion)

Soit

donc

donc , soit

donc donc , soit

et donc

Comme y était un élément quelconque de , on a démontré que :



Passons à la deuxième inclusion :

Soit

donc

donc

or donc

et donc donc , soit

Comme y était un élément quelconque de , on a démontré que :


Et donc, par double inclusion, on a bien démontré que : .


Ouf ! J'était bien content de moi, mon résultat me paraissait "plus fort" que le livre. Hardi hardi, me dis-je, je vais utiliser cette nouvelle proposition pour démontrer la première, et c'est là que ça bloque.

Je pars donc de :

Et je souhaite démontrer que :

Alors ok, pourquoi me prendre la tête alors que ce deuxième résultat est déjà démontré ? Parce que j'aime ça, bien sur !!

Je veux donc démontrer que .

Peut-être que c'est une fausse, piste, peut-être que mon résultat n'est pas "si fort" que ça, et même qu'il ne sert à rien pour cette démonstration. Qu'en pensez-vous ?


Toute correction, suggestion, tous commentaires sont plus que bienvenus !! Merci d'avoir lu jusque là ))

[Ben314]

Salut,
Pour le premier point : c'est impec.

Par contre, pour la suite, ça déconne (au moins) là :

... donc

vu qu'il est tout a fait possible (si f n'est pas injective) qu'il existe un tel que .
Par exemple, si , , , alors et pourtant

Tu vérifiera que, d'ailleurs, dans ce contexte là, on a

alors que

[Ben314]

Salut,
Pour le premier point : c'est impec.

Par contre, pour la suite, ça déconne (au moins) là :

... donc

vu qu'il est tout a fait possible (si f n'est pas injective) qu'il existe un tel que .
Par exemple, si , , , alors et pourtant

Tu vérifiera que, d'ailleurs, dans ce contexte là, on a

alors que


Par contre, la deuxième inclusion, à savoir est vrai et la preuve est correcte.

Enfin, ça : , c'est effectivement vrai et, plutôt que de nouveau le démontrer a coup de siy y est dans... alors y est dans..., je te proposerais bien d'aller un peu plus vite et d'utiliser les trucs connus et déjà démontrés :

[Ben314]

Salut,
Pour le premier point : c'est impec.

Par contre, pour la suite, ça déconne (au moins) là :

... donc

vu qu'il est tout a fait possible (si f n'est pas injective) qu'il existe un tel que .
Par exemple, si , , , alors et pourtant

Tu vérifiera que, d'ailleurs, dans ce contexte là, on a

alors que


Par contre, la deuxième inclusion, à savoir est vrai et la preuve est correcte.

Enfin, ça : , c'est effectivement vrai et, plutôt que de nouveau le démontrer a coup de si y est dans... alors y est dans..., je te proposerais bien d'aller un peu plus vite et d'utiliser les trucs connus et déjà démontrés :

[chombier]

En effet, j'ai pris la contraposée d'une expression vraie, quelle erreur :-/

En fait, il est en effet tout à fait possible d'avoir simultanément




On aura et , donc

Ce qui donne un contre exemple de puisque appartiens au premier terme de cette équation et n'appartiens pas au second.

Merci, Ben314, de me briser mes rêves !! Enfin, merci surtout de me remettre dans le droit chemin ;-

Et merci aussi pour ta série de propositions à démontrer, je vais m'y mettre quand j'aurais le temps, j'ai visiblement besoin d'entrainement !

Je trouve assez difficile d'avoir de bonnes intuitions concernant ces exercices. Sans doute il faut faire pas mal de démonstrations in extenso (et sans se tromper) avant que tout cela ne devienne intuitif.

Bon rien à voir mais je fais un cours à une classe de 5ème demain et j'ai bien les miquettes, il fallait que je le dise !!

[Ben314]

Bon rien à voir mais je fais un cours à une classe de 5ème demain et j'ai bien les miquettes, il fallait que je le dise !!

Aie Aie Aie...

Non, je déconne : ça va bien se passer...

[chombier]

Aie Aie Aie...

Non, je déconne : ça va bien se passer...

Merci Ben, en effet ça s'est pas mal passé. Merci pour tes encouragements

J'en profite pour me corriger à nouveau. Je n'ai évidemment pas pris la contraposée d'une expression vraie (sinon j'aurais eu bon), j'ai tout simplement inversé le sens de la fleche d'implication, rien que ça !

La contraposée de : ,

c'est :


Et de , on ne peut rien conclure.

[chombier]

Je te proposerais bien d'aller un peu plus vite et d'utiliser les trucs connus et déjà démontrés :

Proposition 1 :

Démonstration : Soit
donc
Comme , et que , et donc , donc
Soit . Comme y était un élément quelconque de ,
on a démontré que

Remarque 1 : on aurait pu passer par le lemme :

Remarque 2 : Comme est une vérité universelle, l'est aussi.

chers (re)lecteurs, n'hésitez surtout pas à me corriger la moindre de mes erreurs !!!

(à suivre)

[chombier]

Proposition 2 :

Lemme :

Démonstration :

Comme , si , en appliquant directement le lemme, on obtiens

On a démontré que :

chers (re)lecteurs, n'hésitez surtout pas à me corriger la moindre de mes erreurs !!!

(à suivre)

[chombier]

J'ai l'impression qu'elle marche dans l'autre sens, la deuxième implication

Proposition 2b :

Lemme :

Je me trompe ? Tout cela est symétrique. Si je note (et donc )




Je me trompe ?

Pour la dernière implication, je n'"ose" pas, il y a deux égalités et une implication, je ne sais pas trop par quel bout le prendre. Il faut que je me lance !

[Ben314]

Jusque là,... ça roule... (et je pense que petit a petit tu "voit" mieux ce qui marche et... ce qui ne marche pas...)

[chombier]

ok, passons à la dernière :



Montrons d'abord que les deux égalités sont des vérités universelles (des tautologies).

Lemme : (laissé en exercice au lecteur :lol3:)

Comme , et sont des parties de F, une application directe du lemme nous fournit les deux égalités.

Il reste donc à démontrer l'inclusion et pour cela, on va utiliser l'hypothèse (qui est une tautologie qu'on a déjà démontrée).

Proposition :

Démonstration : Soit



or donc

Donc .

Comme y était un élément quelconque de ,

on a démontré que

Finalement, ça n'était pas si dur (si j'ai pas merdé) (et on j'aurait même pu aller plus vite en utilisant des propriétés sur les ensembles : si X inclus dans Y alors A\Y inclus dans A\X)