Propriétés: rangs de matrices

[sanssecondmembre]

Bonsoir, je suis en train de travailler un DM sur les déterminants et voici l'exercice qui me donne du fil à retordre:

Soit A une matrice carré de taille n à coefficients dans R avec n >= 2
Il s'agit de montere les propriétés suivantes:
1) rg A = n implique rg comA = n
2) rg A = n-1 implique rg comA = 1
3) rgA =< n-2 implique rg comA = 0

Voilà... alors pour la première c'est simple, A est inversible et le résultat est immédiat en exprimant l'inverse de A en fonction de t com A.
Pour la deuxième, j'ai cherché à extraire de A une matrice carré mais ce que j'essaye de montré de fonctionne pas. J'ai essayé d'illustrer cela avec des matrices de taille 3 et 4. Mais je n'arrive pas à aboutir avec mes raisonnements. Pourriez-vous me donner un indice s'il vous plait?

(je sais que ces propriétés sont très connues et qu'il faut les connaîtres par coeur si on ne veut pas s'exposer aux sarcasmes des interrogateurs lors des oraux...)

Merci d'avance!

[Nightmare]

Salut :happy3:

En voila un résultat intéressant !

Pour la 3) elle est simple aussi !
Si rg(A) est inférieur à n-2, les cofacteurs sont nuls puisque ce sont les déterminants des matrices carrés d'ordre n-1 extraites de A.

Pour la b) c'est peut être un peu plus délicat,

Supposons que rg(A)=n-1

On sait que et par conséquent , ie

Le théorème du rang nous donne aussi

on sait qu'il existe une matrice extraite de A d'ordre n-1 inversible et donc au moins un cofacteur non nul, ie com(A) est non nulle.
On ne peut donc avoir que rg(Com(A))=1!

[sanssecondmembre]

Je te remercie, c'est même plus que ce que je demandais! :we: Et bien! j'en étais encore bien loin: je n'aurais maintenant pas pensé à discuter sur l'image et le noyau...
Et pour la 3, c'est effectivement très simple!

[Nightmare]

Je t'en prie :happy3: