Proprietes espace non commutatif

[JPMoulin]

Bonjour.

Bonjours aux personnes de ce forum.

Je redige un article scientifique depuis plus d'un an qui traite des mecanismes du vivant. Je vais bientot le terminer.
Je pense que ce serait long d'en donner le sujet.
Disons que la structure sur laquelle je travaille fait partie de l'algebre generale ; il s'agit de proprietes de ceratines transformations sur un certain type d'espace

Probleme : Je me demande depuis tres longtemps dans quels cas l'espace quotient modulo cette fonction et/ou transformation est un espace non commutatif.

Et c'est la ou mes ennuis commencent.
J'ai achete pas mal de livres traitant de la question, telecharge des articles bref travaille beaucoup la question.

soit ces articles sont plus ou moins de la vulgarisation et mon probleme me parait encore plus obscur apres avoir lu

soit l'article ou le livre fait appel a des notions que je n'ai pas et qui me demanderait des mois voire des annees pour les comprendre vraiment et je ne suis pas plus avance.

Je ne trouve nulle part une definition explicite de ce qu'est un espace non commutatif, j'ai compris qu'il s'agit des proprietes relatives a un espace quotient.

Je cherche une definition de la proprietes des espaces non commutatif.
que je pourrais appliquer a l'espace quotient modulo les fonctions ou les transformation de ma definition ci dessus. Il est toujours donne des exemples qui ne me permettent pas de repondre a la question.

J'en viens donc a exhiber un probleme analogue et a demander la solution :
Il est dit dans pas mal de bouquins que l'ensemble quotient (ensemble triadique de cantor modulo l'operateur T qui l'engendre) est un espace non commutatif

T : I -> (I indice0) Union (I indice1) : [a,b] -> [a , a+ (b-a)/3] Union [b-(b-a)/3 , b] a titre de rappel

Quelqu'un donc pourrait il me dire en quoi l'ensemble quotient (ensemble triadique modulo l'operateur T) est un espace non commutatif.

Si j'avais la reponse j'appliquerai la propriete ennoncee et je pourrais ainsi beaucoup avancer dans la conclusion de mon article, je stagne depuis des mois la dessus.

Merci

J-P Moulin

PS : J'ai deja pose la meme question dans un autre forum, soit on ne me repond pas sit on me propose de poser la question quelqu'un d'autre (Alain Connes) il ne repond pas.

[Ben314]

Salut,
Tu aurais une référence où ils parlent de cette notion pour essayer de comprendre de quoi il retourne ?
Je ne suis pas sûr de pouvoir t'expliquer grand chose, mais là, le problème, c'est surtout que je ne comprend pas du tout de quoi tu parle.
En général, lorsque l'on parle de "commutativité", ça se réfère plutôt à une loi de composition interne qu'à un espace donc déjà, le terme "espace non commutatif" n'est pas bien clair (peut-être, voire surement parce qu'il est sorti de son contexte).
De même la construction la plus communément utilisé de l'ensemble triadique de Cantor ne fait pas appel a la notion de quotient d'un ensemble par une relation, et ne définie en général pas de loi de composition interne sur l'ensemble de Cantor (donc rien qui soit [ou ne soit pas] commutatif). Donc de nouveau, pour que ta question ait un sens, cela signifie que le point de vue sur l'ensemble Triadique de Cantor n'est pas exactement celui que tout le monde connait...

c.f. par exemple ici ou ni le terme "commutatif", ni le terme "quotient" n'apparait ce qui ne prouve bien entendu rien d'autre que le fait que dans la vision "classique" de cet ensemble, il n'y a pas de "quotient" ni quoi que ce soit de "non commutatif".

[zygomatique]

salut

pour compléter ...

si (G, *) est un groupe et f un morphisme de G

alors on peut considérer l'ensemble quotient G/f ou G/R

où R est la relation :: x R y <=> f(x) = f(y)

sous certaines conditions G/f est aussi un groupe ....


mais il faudrait nous en dire plus sur ce que tu entends par espace ....

[Doraki]

J'avais le livre d'alain connes (anabelian geometry) il y a longtemps mais je le retrouve plus
du coup aucune chance de comprendre de quoi tu parles.

Il serait bon que tu nous explique ce que tu veux dire par "ensemble quotient modulo l'opérateur T"
C'est quoi le rapport entre T et l'ensemble de Cantor ?
T c'est une application de [0;1] dans [0;1]
[0;1] modulo T ça ne veut (à ma connaissance) absolument rien dire,
et l'ensemble de Cantor modulo T, encore moins.

[JPMoulin]

Bonjour

Merci de vos reponses.
Tous les mots employes sont des mots utilises dans les livres de mathematiques aussi bien francais qu'anglais ou obtenus en tapant sur un moteur de recherche definition et le mot, bien souvent wikipedia donne une idee pleins de cours en lignes et certains de tres bonne qualite et de tres bon niveau

Un espace est un ensemble muni d'une structure (ou de plusieurs) additionelle permettant de definir des objets remarquables analogues a ceux obtenue en geometrie.

Dans l'ensemble triadique on a pris l'habitude de prendre [0,1] mais on aurait pu prendre tout autre ferme.

On itere la transformation T que je donne dans le premier message, T coupe le segment en 3 et efface le segment du milieur, et ainsi de suite sur les segments restants

Toute fonctions toute transformation etablit une partition et sa relation d'equivalence associee sur les points de l'ensemble. espace/modulo la transformation

Connes prend generalement dans ses livres l'exemple du tore a deux dimensions T2 = R2/Z2
Soient les solutions de l'equation differentielle dx= theta dy x et y appartenant a R/Z
theta est un nombre irrationnel appartenant a [0,1]
Dans ces conditions, l'espace quotient est reduit a deux parties l'espace entier et l'ensemble vide.
Il montre ainsi que cet espace quotient commutatif ne nous apprend rien sur le tore T2
Un peu plus d'explications a propos de cet exemple : je recopie mot a mot ce texte de Connes traduit en francais : Donc l'espace qui nous interesse est l'espace des feuillets defini par l'equation differentielle. On peut designer un feuillet par un point correspond a y=0 qui est le cercle S1 = R/Z
Il ajoute que deux points differents d'un entier multiple de theta correspondent au meme feuillet
Il ajoute : X = S1 modulo theta Z, c'est a dire que X est le quotient de S1 par la relation d'equivalence qui identifie deux points appartenant a la meme orbite de la rotation irrationnelle Rotation indice theta x = x + theta.

Il montre ainsi par cet exemple que l'espace quotient c'est a dire tore T2 modulo la transformation qui est un espace commutatif donne une partition triviale c'est a dire l'espace tout entier et l'espace vide montrant ainsi l'absence de finesse de ces classes d'equivalence.

Par ailleurs dans un autre bouquin il parle des pavages de Penrose et il montre reprenant les demonstrations de penrose que le pavage obtenu par deux motifs , deux triangles ayant respectivement pour cotes (a,a,1) et (1,1,a) , ces pavages sont quasi periodiques et on peut demontrer que atoute quasi periode correspond l'ensemble des extremites des segments de l'ensemble de cantor quan on itere l'operateur "enlever le tiers central"
Il est dit dans pleins de bouquins que cet ensemble est un espace quotient espace [0,1] modulo l'operateur "enlever le tiers central" et que cet espace quotient est un espace non commutatif.

C'est pour cela que je vous avais soumis cet espace quotient en vous demandant quels criteres permettent d'affirmer que cet espace n'est pas commutatif.

Dans l'espoir d'avoir ete clair ou pas trop confus
bonne journee

J-P Moulin

[Ben314]

Bon, ben en ce qui me concerne, c'est toujours aussi peu clair...

...ou obtenus en tapant sur un moteur de recherche definition et le mot, bien souvent wikipedia ...

(re) Est ce que tu pourrait donner un lien (n'importe lequel, mais écrit par un matheux et avec des définitions "propres" des différents concepts) : ça fait 4 ou 5 recherche que je lance avec "ensemble triadique de cantor" + "non commutatif" et... y'a absolument rien qui sort contenant les deux termes en même temps... :doh:

@doraki : Tu te rappelle (au moins très vaguement) de comment combiner les termes "ensemble de Cantor" + "Non commutatif" + "Quotient" ?
Le seul truc de vaguement plausible qui me vient à l'esprit, c'est d'étudier un truc du style le groupes des isométries sur l'ensemble de Cantor muni d'une certaine distance (y'en a des assez "naturelles") : sauf que je vois pas trop ce que vient faire le terme de "quotient" là dedans...

[beagle]

"La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend habituellement (celle développée par Alexandre Grothendieck), car s'intéressant à des objets non commutatifs.

L'idée principale est qu'un espace au sens de la géométrie usuelle peut être décrit par l'ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur cet espace. Cet ensemble de fonctions forme une algèbre associative sur un corps, qui est aussi commutative : le produit de deux fonctions ne dépend pas du choix d'un ordre. On peut alors songer à voir les algèbres associatives non commutatives comme des « algèbres de fonctions » sur des « espaces non commutatifs », comme le tore non commutatif."

déjà pour espaces non commutatifs

[beagle]

http://www.alainconnes.org/docs/pardis.pdf

[Ben314]

http://www.alainconnes.org/docs/pardis.pdf

Merci Beagle.
Mais faudra pas trop compter sur moi pour expliquer quoi que ce soit... :doh:

[beagle]

Merci Beagle.
Mais faudra pas trop compter sur moi pour expliquer quoi que ce soit... :doh:

ah zut, perso j'ai juste compris que c'était une géométrie tirée par les cheveux,
juste compris les tifs de commutatifs, cela reste très insuffisant ...

[JPMoulin]

Bonjour.

Merci de toutes ces reponses.

J'ai beaucoup travaille la question depuis ces echanges et je pense avoir compris de quoi il retourne.

Je vais quand mon PC dedie aux scanners sera libre scanner les pages 38 a 43 et 84 85 des introduction de geometries non commutatives de Connes et donner le lien pour y acceder afin que vous puissiez voir par vous meme qu'a tout pavage du plan de penrose (fait avec deux triangles (1,1,t et t,t,1) on peut faire correspondre de facon biunivoque une suite de 0 et de 1 avec une autre correspondnat a une iteration sur [0,1[ de T :
(Tapez ensemble triadique et voyiez la reponse de wikipedia)
soit T1 la transformation enlever le tiers central du segment [0,1[
soit T2 la transformation enlever le tiers central sur les segments restant
soit T3 idem et ainsi de suite

sur http://www.math.u-psud.fr/~perrin/enseignement/Cantor.pdf;)
on demontre que les extremites des segments a l'iteration Tn sont x= sigma de n=1 a l'infini de xn/3 puissance n
Ces suites ne comportent que des 1 et des 2
Si on ecrit a la place de 1 un 0 et a la place de 2 un 1 on obtient pour chaque valeur de n de Tn une suite binaire
on demontre que ces suites sont toute differentes Ti different de Tj quelque soit i et j Donc a toute iteration Ti on a une suite de 0 et de 1 distincte codage des abcisses des extremites des segments restants a l'iteration Tn

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Par ailleurs :


Penrose demontre qu'on peut passer du codage d'un pavage a un autre codage du meme pavage par une transformation P
Soit un autre pavage et ses transformations Q
Deux pavages sont identiques si il existe deux nombres d'iterations i et j tels que Pi = Qj

c'est une relation d'equivalence
chaque point de l'espace quotient codage d'un pavage / modulo cette relation d'equivalence correspond a un pavage distinct du plan.


pourquoi penrose etablit il un codage d'un pavage et une iteration sur ce codage qui donne un autre codage mais qui correspond au meme pavage ?
Parceque le probleme essenteil devant un pavage qui est non periodique et qu'on est confronte a la question : est ce qu'une isometrie de ce pavage ne donnerait elle pas le meme pavage ?

la relation d'equivalence donnant deux pavages identiques
est nombres d'iterations i et j tels que Pi = Qj
Or Pi et Qj sont des isometries, qui sont des operations non commutatives.

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Il y a une correspondance biunivoque entre le codage Tn (expression en base 2 des abcisses des points des segments de [0,1[ a la nieme iteration de la transformation T diviser chaque segment en 3 et enlever le segment du milieu)
et un pavage du plan de penrose.

Chacun des codage des pavages de penrose correspond bi jectivement a un codage des extremites des abcisses de segments [0,1[ a la T ieme iteration
et comme l'ensemble des codages de pavages est un espace quotient non commutatif obtenu par la relation d'equivalence Pi = Qj, on en deduit que l'ensemble des



Pardon si je fais souffrir par mon manque de rigueur dans mon ecriture bien que je fasse tres attention.

Je vais donc donner acces a ces pages et vous pourrez si vous en avez la curiosite comprendre ce que j'essaye d'expliquer.

En fait a posteriori je me rends compte que je n'ai pas pris le meilleurs exemple, j'aurai du prendre un exemple a partir de ce les mathematiciens appelent une algebre de Von Neumann, qui parait etre tout simplement un espace vectoriel muni d'une operation "produit de matrices nXn"

Je ne suis pas encore alle voir de pres mais j'imagine une relation d'equivalence modulo un produit matriciel qui donne un espace quotient correspondant a une operation non commutative, je pense que c'est un exemple le plus accessible.

(les matrices nXn correspondand quand leur determinant est egal a un a des isometries, c'est peut etre le meme exemple que precedement )

Pardon encore si je vous fais souffrir avec mes formulations approximatives, je mets en lignes le pages de connes le plus vite possible

Bonnes journée

J-P Moulin

[JPMoulin]

Bonjour.

Voici la reponse que j'ai trouvee ces jours ci et que je soumets a votre approbation :

Soit un ensemble E muni d'une loi T quelconque la seule condition est d'etre fermee quelque soit a et b appartenant a E
soit a T b = c et c appartient a E.


La relation a T b = b T a est une relation d'equivalence R qui etablit une partition en deux sous ensembles de parties p(E)=E X E , il correspond l'ensemble quotient E X E modulo (a T b = b T a)
ces deux ensembles sont
d'une part la diagonale delta : (E X E) R (E X E) = Delta les elements de E X E correspondant a T commutative. J'ai vu un bouquin ou on appelait cela le centre dans le cas ou E etait un groupe (non commutatif evidemment, en cas de groupe abelien, Delta contient toutes les parties {a,b} telles que a T b = b T a) muni de la loi T.
et le complementaire c'est a dire la partie constituee de toutes les parties {a,b} telles que a T b differentes de b T a

Si maintenant on emploie le mot espace E a la place de ensemble (dans bien des livres ils emploient un mot pour l'autre quand l'ensemble est muni de ce qu'ils appelent une structure additionelle) , on a
la reponse a la question que je posais en des termes inadequats au debut de ce sujet.



cela vous parait il correct ou non SVP ?

Bonne journee.

J-P Moulin