Propriétés des espaces vectoriels

[Dante0]

Imf={f(x) ,x dans E}

tu n'as pas vu ca avec kerf?

Non... :triste:

[Dante0]

Du coup c'est quoi la différence entre rang et dimension ? ^^'

[Dante0]

Up !
J'aimerais bien comprendre la différence entre rang et dimension c'est primordial je crois. :p
Sinon pour trouver une base, il faut d'abord trouver un système générateur ou pas besoin ?

[Sylviel]

On t'as déjà répondu plusieurs fois en fait.

On parle de la dimension d'un espace vectoriel. C'est le nombre de vecteurs d'une base de cet espace. Autrement dis c'est le nombre minimum de paramètres pour caractériser précisément un point de ton espace.

On parle du rang d'une application linéaire ou d'une matrice.
- le rang d'une application linéaire est la dimension de son Image. L'image d'une fonction f est l'ensemble des points ayant un antécédent par f. Pour une application linéaire c'est un e.v. donc on peut parler de sa dimension.
- le rang d'une matrice c'est :
-- le rang d'une application linéaire associée
-- la dimension de l'e.v généré par l'ensemble des vecteurs colonnes (ou ligne).

J'imagine qu'on doit aussi définir le rang d'une famille de vecteur comme la dimension de l'espace vectoriel engendré par ces vecteurs.

[Dante0]

Ok.
Pour trouver une base il faut bien prouver qu'il s'agit d'un système générateur avant n'est-ce pas ? Ou c'est inutile ?
Parce que si je comprend bien une base est forcément un système générateur mais un système générateur n'est pas forcément une base.

[Anonyme]

un système générateur d'un espace vectoriel de dimension n contient au moins n éléments

un système générateur de n "éléments" (vecteurs) d'un espace vectoriel de dimension n est ce qu'on appelle une base de cet espace vectoriel

ET la décomposition de tous les "vecteurs" de l'EV de dimension n dans cette BASE de n "vecteurs" est UNIQUE

[Dante0]

un système générateur d'un espace vectoriel de dimension n contient au moins n éléments

un système générateur de n "éléments" (vecteurs) d'un espace vectoriel de dimension n est ce qu'on appelle une base de cet espace vectoriel

ET la décomposition de tous les "vecteurs" de l'EV de dimension n dans cette BASE de n "vecteurs" est UNIQUE

Oui en gros quand il s'agit d'une base le système générateur ne peut s'ecrire que sous la forme d'une CL unique des vecteurs de l'EV.
Maintenant ca répond pas à ma question, pour dire qu'on est en présence d'une base il faut pas d'abord dire qu'on est en présence d'un système générateur en premier lieu ?
Prenons l'exemple :

1 2 0
3 5 2
4 1 7

Est-ce une base de R3 ?

[Sylviel]

ben c'est quoi comme objet déjà, 1 matrice ?, 9 nombres ? trois vecteurs (ceux en ligne ou en colonne) ?

Sinon les 3 vecteurs v1=(1 2 0),v2=(3 5 2),v3=(4 1 7) forment une base de R^3. Pour le montrer le plus simple est de montrer que la famille est libre. Pour cela tu écris av1+bv2+cv3=0 et tu montres que cela conduit à a=b=c=0.

[Dante0]

ben c'est quoi comme objet déjà, 1 matrice ?, 9 nombres ? trois vecteurs (ceux en ligne ou en colonne) ?

Sinon les 3 vecteurs v1=(1 2 0),v2=(3 5 2),v3=(4 1 7) forment une base de R^3. Pour le montrer le plus simple est de montrer que la famille est libre. Pour cela tu écris av1+bv2+cv3=0 et tu montres que cela conduit à a=b=c=0.

En fait vous n'essayez pas de montrer que l'élement unique de X tel que
X = x1,x2,x3 (en colonne) peut s'ecrire sous la forme d'une CL des vecteurs de l'ensemble des 3 vecteurs (ensemble qu'on va appeler S1) ? Ou alors ca revient au même ?

C'est vraiment ca ma question : faut-il absolument passer par la définition de l'ensemble générateur pour prouver que c'est une base (puisqu'une base n'est rien d'autre qu'un système generateur dont les vecteurs sont libres) ou non ? :mur:

[Anonyme]

Dans un EV de dimension n

1) Le nombre de vecteurs d'une famille dite LIBRE est FORCEMENT inférieur ou égale à n

2) n+1 vecteurs forment forcément une famille dite liée : 1 de ces vecteurs est une combinaison linéaire des n autres

3) Une famille libre de n vecteurs est un système générateur de l'EV

Conclusion:
Il y a différents moyens de démontrer que n vecteurs forment une base d'un EV de dim n
Un des moyens est de démontrer que la famille de ces n vecteurs est libre

ps)
Une famille libre ne contient pas le vecteur nul