Propriétés des espaces vectoriels

par **Dante0** » 19 Oct 2012, 10:40

Bonjour,

Je galère un peu sur les propriétés des espaces vectoriels notamment celles qui concernent les systèmes générateurs, les bases, le rang et la dimension.

Voila 2 propriétés issues de mon cours :

*On appelle dimension d'un espace vectoriel E, le nombre de vecteurs que comporte n'importe quelle base de cet espace vectoriel.

*La dimension d'un espace vectoriel est égale au rang de ces bases

D'après ces 2 propriétés, on peut dire que le rang correspond au nombre de vecteurs que comporte n'importe quelle base d'un EV. Mais je pensais que le rang correspondait au nombre de lignes ou colonnes linéairement indépendantes ?

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Sinon une base correspond bien à un système générateur dont les éléments sont linéairement indépendants n'est-ce pas ?

Merci !

par **DamX** » 19 Oct 2012, 10:54

D'après ces 2 propriétés, on peut dire que le rang correspond au nombre de vecteurs que comporte n'importe quelle base d'un EV. Mais je pensais que le rang correspondait au nombre de lignes ou colonnes linéairement indépendantes ?

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Sinon une base correspond bien à un système générateur dont les éléments sont linéairement indépendants n'est-ce pas ?

Bonjour,

Oui c'est pareil. Comme une base est composé de vecteurs linéairement indépendants, ca se traduit sur sa représentation matricielle par le fait que les colonnes sont linéairement indépendantes, c'est la Meme chose. Du coup le rang c'est bien le nombre de vecteurs de la base.

Petite précision toutefois, lorsque tu parles du "nombre de colonne" c'est que tu supposes déjà que tu peux décomposer tes vecteurs selon une certaine base, et que tu connais la dimension de l'espace. Or ici tu te trouves en amont de tout ça, tu ne connais pas encore la dimension de l'espace et tu la définis justement par le nombre d'éléments contenu dans toute base de l'espace.

Et oui une base est une famille libre et génératrice.

Damien

par **Sylviel** » 19 Oct 2012, 11:08

Oui une base est une famille libre (donc lineairement indépendante) et génératrice. Cela correspond au nombre de paramètre minimum pour parfaitment définir un point de ton espace.

Le rang d'une famille c'est la dimension de l'espace qu'il génère. Le rang d'une application linéaire c'est la dimension de son image. Le rang d'une matrice c'est le rang soit de ses vecteurs lignes, soit de ses vecteurs colonnes, soit d'une application linéaire associée.

par **Dante0** » 19 Oct 2012, 11:44

Ok mais quand on dit le "nombre de vecteurs" on parle donc des colonnes ou des lignes par exemple ?
En gros un vecteur = 1 ligne ou 1 colonne exact ?

par **Sylviel** » 19 Oct 2012, 12:30

Soit précis dans ce que tu dis, dans les objets que tu considères.

Une base est une famille de vecteurs. C'est à dire un ensemble de vecteurs. Un vecteur est un élément de ton espace vectoriel. Exemple : une base de C comme R-espace vectoriel est (1,i), une autre est (-1,i), une autre (1+i,1-i), une autre (42, 3+4i)... Elles ont toutes 2 éléments car la dimension de l'espace est de 2.

Une matrice est un tableau de chiffre. Elle peut être interprétée de différentes manières, mais c'est un autre objet.

Quand on parle des "vecteurs colonnes" on parle effectivement de la famille des vecteurs dont chaque élément est une colonne de la matrice.

Donc reformule plus précisément ta question...

par **Dante0** » 19 Oct 2012, 13:31

Oui c'est vrai que j'ai du mal à m'exprimer...
Quand on jette un oeil à un ensemble G par exemple :

1 2 4
0 5 2
2 0 1

Comment connaitre son nombre de vecteur ?

par **zork** » 19 Oct 2012, 14:26

c'est quoi G, une matrice?

par **Dante0** » 19 Oct 2012, 14:27

zork a écrit:c'est quoi G, une matrice?

Un ensemble appartenant à R3 je sais pas comment faire les ensemble en Latex

par **zork** » 19 Oct 2012, 14:28

il faut des (x,y,z) alors ?

par **Dante0** » 19 Oct 2012, 14:56

zork a écrit:il faut des (x,y,z) alors ?

Je comprends pas bien ta question...
Je me demande juste comment connaitre le nombre de vecteurs dans G

par **zork** » 19 Oct 2012, 16:36

en faites je ne comprend pas c'est quoi ton ensemble G?

est ce dans ce cas G=Vect((1,0,2),(2,5,0),(4,2,1)) si oui le problème consiste à voir si ta famille est libre

par **Dante0** » 19 Oct 2012, 17:03

zork a écrit:en faites je ne comprend pas c'est quoi ton ensemble G?

est ce dans ce cas G=Vect((1,0,2),(2,5,0),(4,2,1)) si oui le problème consiste à voir si ta famille est libre

En fait j'ai envie de savoir si mon ensemble G est une base de R3 ou non et quelle est sa dimension.

par **zork** » 19 Oct 2012, 17:50

ta famille et libre et dimG=R^3 donc c'est une base

par **Dante0** » 19 Oct 2012, 17:57

zork a écrit:ta famille et libre et dimG=R^3 donc c'est une base

Donc dimG = 3 parce que les 3 vecteurs de G sont libres ?
Mais est-ce qu'on a prouvé que c'etait un système générateur ? Parce que pour être une base il faut d'abord qu'il soit générateur de l'ensemble non ?

par **Nightmare** » 19 Oct 2012, 17:59

Dante0 a écrit:En fait j'ai envie de savoir si mon ensemble G est une base de R3 ou non et quelle est sa dimension.

Saisis-tu dans un premier temps la différence entre un ensemble, une matrice et un vecteur? A priori, tu sembles maladroitement mélanger les vocabulaires associées à chacune de ces notions.

Une base par exemple n'a pas de dimension, et dire qu'un ensemble est une base n'a pas trop de sens.

par **zork** » 19 Oct 2012, 18:09

G=Vect((1,0,2),(2,5,0),(4,2,1)) tu veux savoir si la famille ((1,0,2),(2,5,0),(4,2,1)) est une base de G

Tu remarques que cette famille est libre et comme dim R^3=dimG alors c'est une base

Cette propriété provient du théorème suivant:
G un eV, B={e1,...,en}
1)B est une base de E si (e1,..,en) est libre et génératrice
2) la famille et libre et dimB=dimE
3) la famille est génératrice et dimB=dimE

par **Dante0** » 19 Oct 2012, 19:18

Nightmare a écrit:Saisis-tu dans un premier temps la différence entre un ensemble, une matrice et un vecteur? A priori, tu sembles maladroitement mélanger les vocabulaires associées à chacune de ces notions.

Une base par exemple n'a pas de dimension, et dire qu'un ensemble est une base n'a pas trop de sens.

Oui c'est vrai que je mélange un peu tout ca...
Par contre je suis sur que mon prof parlait d'un certain ensemble G (pour générateur) et il disait qu'après "l'ensemble G est une base de R^3"

zork a écrit:G=Vect((1,0,2),(2,5,0),(4,2,1)) tu veux savoir si la famille ((1,0,2),(2,5,0),(4,2,1)) est une base de G

Tu remarques que cette famille est libre et comme dim R^3=dimG alors c'est une base

Cette propriété provient du théorème suivant:
G un eV, B={e1,...,en}
1)B est une base de E si (e1,..,en) est libre et génératrice
2) la famille et libre et dimB=dimE
3) la famille est génératrice et dimB=dimE

Est une base de R^3 tu veux dire ?
Ok effectivement il y'a une propriété comme ca dans mon cours !

Par contre c'est quoi la différence entre rang et dimension ? Parce que plus on échange et plus j'ai l'impression que c'est la même chose.

par **zork** » 19 Oct 2012, 19:26

le rang c'est dim Imf pour les espaces vectoriels
tu dois noter comme cela dans ton cours: rg f =dim Imf

par **Dante0** » 19 Oct 2012, 19:46

zork a écrit:le rang c'est dim Imf pour les espaces vectoriels
tu dois noter comme cela dans ton cours: rg f =dim Imf

Imf ? qu'est-ce que c'est ?

par **zork** » 19 Oct 2012, 19:56

Imf={f(x) ,x dans E}

tu n'as pas vu ca avec kerf?

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