Propriétés de compositions de fonctions

[plikskin]

Bonjour,

J'ai la fonction suivante :

f : R -> R^(-1), f(x) = (exp(sin(arctan(x))))^2 - 6*exp(sin(arctan(x)))

Je dois déterminer si cette dernière est injective et/ou surjective (sans la simuler bien sûr ^^).

Je suis parti dans plusieurs direction différentes. Mais je pense qu'il faut la décomposer en différentes fonctions comme suit :

f(x) = g(x)*(g(x)-6)
g(x) = e^h(x)
h(x) = sin(x)
i(x) = arctan(x)

J'ai aussi découvert que les deux dernières opérations pouvaient êtres décrites de la manière suivante : h°i = x/(1+x^2)^0.5

J'imagine qu'il y a un moyen d'utiliser ces décompositions pour déterminer les propriétés de la fonction de base mais je n'arrive pas à trouver lesquelles...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? :)

[Manny06]

Bonjour,

J'ai la fonction suivante :

f : R -> R^(-1), f(x) = (exp(sin(arctan(x))))^2 - 6*exp(sin(arctan(x)))

Je dois déterminer si cette dernière est injective et/ou surjective (sans la simuler bien sûr ^^).

Je suis parti dans plusieurs direction différentes. Mais je pense qu'il faut la décomposer en différentes fonctions comme suit :

f(x) = g(x)*(g(x)-6)
g(x) = e^h(x)
h(x) = arctan(x)
i(x) = sin(x)

J'ai aussi découvert que les deux dernières opérations pouvaient êtres décrites de la manière suivante : h°i = x/(1+x^2)^0.5

J'imagine qu'il y a un moyen d'utiliser ces décompositions pour déterminer les propriétés de la fonction de base mais je n'arrive pas à trouver lesquelles...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

revois tes compositions
sin(Arctanx)=x/(V(1+x²)
tu peux peut-être faire le tableau de variations de la fonction (voir la monotonie et l'intervalle image)

[plikskin]

J'ai inversé h et i (sur le forum) tu as raison. Mais j'ai toujours le même problème. :(

[Manny06]

J'ai inversé h et i (sur le forum) tu as raison. Mais j'ai toujours le même problème.

tu peux encadrer f(x) sachant que sin(Arctanx)€[-1;1] ceci pour la surjectivité
pour l'injectivité calcule la dérivée

[DamX]

tu peux encadrer f(x) sachant que sin(Arctanx)€[-1;1] ceci pour la surjectivité
pour l'injectivité calcule la dérivée

Pour l'injectivité je ne conseillerais pas de calculer la dérivée, c'est du sadisme . Tu peux réfléchir aux fonctions imbriquées que tu as, tu as bien décomposé le problème en compositions. Pars du plus imbriqué, puis regarde si la fonction est strictement monotone sur l'intervalle recherché. Ca se fait très bien sur cet exemple. Je commence le début pour être plus clair : arctan est strictement monotone sur R et renvoie lintervalle image ]-pi/2,pi/2[. comment est sin sur ]-pi/2,pi/2[ ? Quel est l'intervalle image ? Etc..

Damien

[plikskin]

Merci beaucoup pour votre aide ! Donc en démontrant grâce à l'analyse des différents domaines que la fonction de base ne mappe que sur une partie du codomaine je prouve que la fonction n'est pas surjective et en démontrant que toute les fonctions de la décomposition sont monotones je prouve que la fonction est injective, c'est cela ?

[DamX]

Merci beaucoup pour votre aide ! Donc en démontrant grâce à l'analyse des différents domaines que la fonction de base ne mappe que sur une partie du codomaine je prouve que la fonction n'est pas surjective et en démontrant que toute les fonctions de la décomposition sont monotones je prouve que la fonction est injective, c'est cela ?

Pour être précis Dans ton cas Ca sera Parce que les fonctions sont strictement monotone "sur l'intervalle qui va les concerner". Parce que dans l'absolu la parabole x(x-6) n'est pas vraiment monotone , mais elle l'est sur le domaine image de exp(sin(arctan(x)) !

[plikskin]

Oui c'est ce que je voulais dire. Encore merci ! ;)