Propriétés axiomatiques de N

[SergeM]

Axiome 1 Il existe un ensemble non vide et ordonné, que l'on note N et que l'on appelle ensemble

des entiers naturels, vérifiant les trois propriétés axiomatiques suivantes :
A1 Toute partie non vide de N a un plus petit élément
A2 Toute partie non vide et majorée de N a un plus grand élément
A3 N n'a pas de plus grand élément.

J'ai une leçon la dessus au capes. Je me demandais en quoi on pouvais être sûr que ces propriétés axiomatique sont cohérentes entre elle.
Si j'ai bien compris un axiome (ou ensemble d'axiome) est supposé cohérent tant que l'on n'a pas découvert d’incohérence dans les propriété qu’il(s) gênèrent c’est ça ?

[Ben314]

J'ai une leçon la dessus au capes. Je me demandais en quoi on pouvais être sûr que ces propriétés axiomatique sont cohérentes entre elle.
Si j'ai bien compris un axiome (ou ensemble d'axiome) est supposé cohérent tant que l'on n'a pas découvert d’incohérence dans les propriété qu’il(s) gênèrent c’est ça ?

Salut,
Tout d'abbord, a mon avis, vu l'esprit des leçons de Capes sensées rester assez "scolaires", il faut pas trop s'étendre là dessus...
Ensuite, un ensemble d'axiomes est dit cohérent lorsque l'on a démontré qu'il ne permettait pas de montrer une proprosition ET aussi son congtraire.
Sauf que, sauf erreur, Godel à démontré qu'il était impossible de montrer (à l'intérieur du système) la cohérence d'un système d'axiome permettant de définir les entiers naturels donc on SAIT que l'on ne prouvera pas la cohérence interne d'un tel système d'axiome.
Aprés, on parle aussi trés souvent de "cohérence relative", c'est à dire du fait que tel système d'axiome est cohérent à condition de supposer que tel autre est cohérent.
Par exemple, dans le cas des axiomes de Peano, il est façile de voir leur cohérence relative par rapport aux axiomes de la théorie des ensembles (Zermelo-Franckel)

[SergeM]

Effectivement il est préférable de traiter une leçon de capes de manière scolaire mais cette leçon est la seule qui me puisse vraiment pas être traitée sous cet angle, ne se rapportant à rien qui ne soit enseigné en collège ou lycée (je suis pas sûr qu’elle tombe bien souvent).

Je me renseignais plus pour répondre à une éventuelle question que pour mettre cet aspect en avant. A vrai dire, l’idée que quelqu’un aie prouvé qu’on ne peut pas prouver qu’il ne peut pas y avoir de contradiction (et peut être un autre pour prouver qu’on ne peut pas trouver de contradiction si ça se trouve ;-) ) me donne un peu le tournis.

Merci pour ta réponse en tout cas.