Propriété universelle du groupe quotient

[yakamonéyé]

Bonjour,
Une question concernant une preuve de la propriété universelle du groupe quotient, selon laquelle, pour tout morphisme f d'un groupe G dans un groupe G', pour tout groupe H contenu dans ker(f), il existe un unique morphisme de G/H dans G' tel que f=hp, avec p la surjection canonique.

Une fois prouvée l'existence d'une application h telle que f=hp (je n'ai pas de doute quant à la validité de cette première partie de la preuve), je coince au moment de prouver que h est un morphisme : considérer que h(p(xy))=h(p(x)p(y)) suffirait à prouver le résultat. Mais c'est alors (non ?) considérer que p est un morphisme, ce qui n'est pas nécessairement le cas comme H n'est pas nécessairement distingué dans G.

Merci,
j'espère que la question est claire. Reformulée, c'est : comment prouver que l'application h dont l'existence est assurée par la propriété universelle du groupe quotient, est un morphisme ?

(PS : sans invoquer de résultats généraux qui sortent du cadre de la théorie des groupes)

[Ben314]

Salut,
J'ai lu en diagonale et j'ai tout arrêt\'e là :

...la propriété universelle du groupe quotient...
...un unique morphisme de G/H dans G' tel que...
...comme H n'est pas nécessairement distingué dans G.

Si H n'est pas distingué dans G alors le quotient G/H n'est pas un groupe et j'aimerais bien que tu me dise, dans ce cas là, ce que signifie selon toi "un morphisme de G/H dans..." : un morphisme de quoi ?

[yakamonéyé]

Hm, j'ai honte. Ceci dit, merci beaucoup !