Propriété arithmétique

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Ncdk
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Propriété arithmétique

par Ncdk » 30 Oct 2017, 15:22

Bonjour,

J'ai vu sur un forum que si et seulement si mais a quelle condition sur a, m et n ça marche et comment le prouver ?

Merci d'avance



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Lostounet
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Re: Propriété arithmétique

par Lostounet » 30 Oct 2017, 15:48

Salut,

Déjà il y a un sens de l'implication qui est plus simple, vois-tu lequel?

Concernant la réciproque, je connais (connaissais?) une preuve qui utilise les extensions de corps (cyclotomiques). Mais il doit y avoir plus basique.
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Re: Propriété arithmétique

par Ncdk » 30 Oct 2017, 15:58

Salut,

Le sens simple je pense c'est supposé que divise n et de montrer que mais j'arrive même pas à le montrer :/

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Re: Propriété arithmétique

par Lostounet » 30 Oct 2017, 16:02

Step by step: si m divise n alors n=m*k avec k un entier.

Peux-tu alors factoriser un peu a^n-1=a^(mk)-1 ?

Aide... sais tu factoriser x^(mk) - 1 = (x^m)^k - 1^k avec la formule de Bernoulli?
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Re: Propriété arithmétique

par Ncdk » 30 Oct 2017, 16:16

Ah oui c'est bon j'ai trouvé merci :)

jlb
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Re: Propriété arithmétique

par jlb » 30 Oct 2017, 22:50

Lostounet a écrit:Salut,

Déjà il y a un sens de l'implication qui est plus simple, vois-tu lequel?

Concernant la réciproque, je connais (connaissais?) une preuve qui utilise les extensions de corps (cyclotomiques). Mais il doit y avoir plus basique.


Coucou! On divise n par m donc il existe q, r entiers avec r=<m tels que n=qm+r
alors a^n -1 = a^r.( (a^m)^q -1) + a^r -1 et comme a^m-1 divise a^n - 1 et (a^m)^q -1 alors il divise a^r - 1 et on conclut r=0

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Re: Propriété arithmétique

par Ncdk » 30 Oct 2017, 23:10

Merci, au final c'est ce que j'ai fait en gros :)

 

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