Proposition fermat

[ptite-mary]

voila le but de l'exercice est de démontrer la propriété suivante:
Soit p un nombre premier arbitraire. il existe deux entiers naturels x et y tels que p = x² + 3y² si et seulement si p congru a 1 mod 3 ou p = 3

On a l'anneaux A = Z[i] et B = Z[j] où i²=-1 et j = (-1+i )/2
étant donné un élément a=x+iy de A ou de B on note = x - iy son conjugué et N(a)=a sa norme

j'ai démontré que A n'était pas factoriel et que B était euclidien.
Puis que (-3/p) = + ou - 1 si et seulement si p congru a 1 mod 3

et que pour p nombre premier impair différent de 3 j'ai démontré que soit p reste irréductible dans B soit il s'écri p = G , pour G un élément irréductible de B

il faut que je démontre que si (-3/p)= + ou -1 alors p n'est pas premier dans B et que j'en déduise que p sécrit sous la forme p = a où a € A
Puis on suppose qu'il existe deux entiers naturels x et y tels que p = x² + 3y²
il faut montrer que (-3/p) = + ou - 1
et enfin démontrer la proposition de fermat...

pouvez vous me donnez quelques indications svp..
merci

[yos]

Bonjour.

(-3/p) = + ou - 1 si et seulement si p congru a 1 mod 3

(-3/p) ne prend que les deux valeurs 1 et -1 donc je trouve bizarre ton équivalence.

[ptite-mary]

pardon c'est une erreur de ma part en effet
(-3/1) = +1 si et seulement si p congru a 1 mod 3

[yos]

Si (-3/p)=1, alors -3 est un carré modulo p, donc , donc avec .
Regarde bien les autres questions. A ce stade, je vois plusieurs possibilités.