Prolongement d'une fonction.

[barbu23]

Ah d'accord, j'ai oublié ce que tu as écrit au début. Quelle étourderie. :ptdr:
Je l'ai parcouru de mes yeux au début, mais, je l'ai pas donné assez d'importance, c'est pourquoi je l'ai oublié. :happy3:
Je m'excuse @Ben314. :we:
Pas grave. :happy3:

Il est alors très facile de montrer que
- Le en question ne dépend pas de la suite de A choisie.
- La fonction ainsi créé est uniformément continue sur X. Ne veut rien dire : f n'est définie que sur Q donc f(racine(2)) n'existe pas.

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Si est un ensemble finie, dit : ensemble de générateurs, et un espace vectoriel de dimension finie, et si est une application ( Je ne sais pas quel type d'application ). Comment montrer que se prolonge en une unique application linéaire tel que : avec l'inclusion canonique ?

Comment énonce-t-on normalement la propriété universelle des espaces vectoriels ?

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Le "type d'application", c'est "n'importe quelle application".
Et ta "la propriété universelle des espaces vectoriels", c'est tout bètement le truc qu'on voit en première année de fac :
"Pour définir entièrement une applications linéaire E->F, il suffit de connaitre les images d'une base de E (et on peut prendre absolument n'importe quoi comme image de la base)"

Donc je suis pas sûr que ça vaille vraiment le coup d'en faire "tout un fromage" à moins que tu ne veuille faire tien l'adage "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué"

[barbu23]

Il me semble qu'il faut poser un truc du style : pour l'existence, non ? qui est linéaire ( Evident )
Et l'unicité est clair. :happy3:
:zen:
J'essaye juste de me familiariser avec la construction de tous type de prolongements, parce que l'algèbre regorge de ce type de choses. ( Construction d'un ensemble qui a une structure à partir d'un ensemble qui n'a aucune structure ) :happy3:
Par exemple, la construction d'un groupe libre, ça demande beaucoup d'étapes pour le construire et établir son existence comme solution d'un problème universelle.

Edit : Merci @Ben314 pour ton petit commentaire que tu as fait.

[barbu23]

Bonsoir à tous, :happy3:

Je cherche une piste pour démontrer la chose suivante : ( si cela est possible ) Je n'ai jamais fait ça de ma vie, je l'ai juste deviné à titre du hasard, et je ne sais pas si elle fonctionne cette idée.

Soit la tribu complétée d'une tribu d'un espace mesuré .

- Vérifier la propriété universelle suivante :

avec à déterminer; vérifie :
- un espace mesuré, une fonction mesurable, il existe une unique fonction mesurable telle que le diagramme suivant commute : .

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Ca, c'est du "problème universel" super intéressant :cry:

On prend comme "complété" de la tribu A la tribu A elle même, pour i l'identité et comme "prolongement" de f, la fonction f elle même et... tout ce que tu demande est trivialement vérifié...

Si dans ton "problème universel" tu ne demande aucune propriétés supplémentaire concernant le "complété" de A, ni le "prolongement" de f, ni sur les espaces d'arrivé des fonctions f que tu manipule, c'est (évidement) sans le moindre intérêt !

[barbu23]

Bonjour @Ben314 :

Le qu'on cherche n'est pas l'injection canonique, ici, mais une triple inclusion il me semble :
, avec : un négligeable, et , non ?

Cordialement. :happy3:

[Ben314]

RELIT TOI, voila ce que tu as écrit :
La fonction à "compléter", elle va de E (ensemble de départ) dans F (ensemble d'arrivé).
Tu veut la "compléter" en une fonction qui va elle aussi de E dans F.
Donc, pour que l'on ait ton fameux ait du sens, ça veut dire que i doit aller de E dans le même E.

Après, effectivement, si ca t'amuse, tu peut dire que i est "l'injection canonique", mais pour moi, "l'injection canonique" de E dans E...

[barbu23]

Comment rectifier donc ce que j'ai dit @Ben314, pour que cela rime avec les données de l'exo ? c'est à dire pour que au lieu que soit de vers , elle devient de vers et change aussi de forme et de nom aussi ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Comment rectifier donc ce que j'ai dit @Ben314, pour que cela rime avec les données de l'exo ? c'est à dire pour que au lieu que soit de vers , elle devient de vers et change aussi de forme et de nom aussi ?

Je ne comprend rien à tes deux "pour que".
Pourrait tu clairement exprimer ce que tu aimerais avoir ?
Là, je ne comprend absolument pas ce que tu cherche...

[barbu23]

Je ne comprend rien à tes deux "pour que".
Pourrait tu clairement exprimer ce que tu aimerais avoir ?
Là, je ne comprend absolument pas ce que tu cherche...

Je cherche à montrer l'existence et l'unicité de , avec un triplet de fonctions : avec , et et
A toi de me corriger, je ne sais pas si c'est cohérent ce que j'écris. :happy3:

[Ben314]

Si c'est ça que tu cherche, ben ça fait jamais que 3 fois que je te donne la réponse : on doit prendre f(barre)=f et c'est tout.

[barbu23]

Si c'est ça que tu cherche, ben ça fait jamais que 3 fois que je te donne la réponse : on doit prendre f(barre)=f et c'est tout.

Comment est définie ?
Comment est définie ?

[Ben314]

Comment est définie ?
Comment est définie ?

Absolument... comme tu veut vu que tu ne demande aucune propriétés particulières concernant "tes" fonction h et k à part d'aller d'un ensemble donné dans un autre.
Encore que pour "ta" fonction k_A, non seulement je vois pas ce que c'est cet indice A, mais je ne vois même pas qui sont censés être les ensemble de départ et d'arrivé de la fonction

[barbu23]

Absolument... comme tu veut vu que tu ne demande aucune propriétés particulières concernant "tes" fonction h et k à part d'aller d'un ensemble donné dans un autre.
Encore que pour "ta" fonction k_A, non seulement je vois pas ce que c'est cet indice A, mais je ne vois même pas qui sont censés être les ensemble de départ et d'arrivé de la fonction

Donc, tu veux dire que il n'existe pas de problème universelle ( ou foncteur ) représenté par ? non ? Donc, la catégorie des espaces mesurés n'existe pas ? non ?

[barbu23]

Moi, je ne peux pas savoir. :happy3:

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Quelqu'un sait - il comment définir ce diagramme qui fait commuter les flèches ?

Merci d'avance. :happy3: