Prolongement d'une fonction.

[barbu23]

Bonjour,

J'ai besoin de trouver une démonstration à la chose suivante :

Soient et deux espaces métriques quelconques et un partie de telle que .

Soit une application continue.

Montrer qu'il existe un unique prolongement continue tel que avec à déterminer.

Merci d'avance pour votre aide.

[Ben314]

Déjà, ça m'étonerais fort que l'application i soit "à déterminer" : a mon avis, vu le contexte on veut que i soit l'injection canonique de A dans X.

Aprés, essayons avec un petit exemple... :lol3:
; (muni des métriques usuelles) et (continue ?)

C'est qui continue qui prolonge ?

[Ben314]

Déjà, ça m'étonerais fort que l'application i soit "à déterminer" : a mon avis, vu le contexte on veut que i soit l'injection canonique de A dans X.

Aprés, essayons avec un petit exemple... :lol3:
; (muni des métriques usuelles) et (continue ?)

C'est qui continue qui prolonge ?

[barbu23]

Bonjour @Ben314 :

Je dis qu'il faut déterminer , parce que je me dis que X peut se construire d'une façon sophistiquée comme le compété de qui est un espace quotient par la relation d'équivalence :
avec : et des suites de Cauchy dans , comme ici : http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node26.php.

Voiçi ce que j'ai fait pour l'unicité :

Supposons qu'il existe deux prolongements continues : et tels que : avec : ( Existence de , il faut montrer l'unicité aussi il me semble ). Alors, : .
Donc, sur . Montrons que : .
Soient : , alors : telle que : .
Par conséquent : : . On passe à la limite lorsque tend vers , et on obtient : .
Par conséquent : : . D'où l'unicité du prolongement. Non ?

Attend, je vais essayer de lire la suite de ton message. :happy3:

[barbu23]

; (muni des métriques usuelles) et (continue ?)

C'est qui continue qui prolonge ?

Oui, est trivialement continue sur il me semble.
: , et ce pour tout , non ?
avec : continue prolongeant n'existe pas il me semble, non ?.

[Ben314]

avec : continue prolongeant n'existe pas il me semble, non ?.

Effectivement, les seules fonctions continues de R dans Q sont les fonction constantes, donc même en acceptant que i soit autre chose que l'injection canonique de A dans X ton résultat est en général faux.

Le truc qui est toujours vrai (en supposant que i soit l'injection canonique), c'est que, si f se prolonge, alors il n'y a qu'un seul prolongement possible (car deux fonctions continues égales sur une partie dense sont forcément égales partout).

Par contre, pour avoir l'existence d'un prolongement, il faut des hypothèses supplémentaires...

[barbu23]

Par contre, pour avoir l'existence d'un prolongement, il faut des hypothèses supplémentaires...

Merci @Ben314. :happy3:
Quelles sont ces hypothèses ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Merci @Ben314. :happy3:
Quelles sont ces hypothèses ?
Merci d'avance. :happy3:

Je pense qu'il y a des tas de possibilités...
Le truc trivial qui me vient à l'esprit, c'est de supposer que f est uniformément continue de A->Y et de supposer que Y est complet (=> l'image d'une suite de A convergeant dans X sera une suite de Cauchy de Y et ça va marcher)

Si tu suppose uniquement Y complet et pas f uniformément continue, ça ne marche pas, par exemple pour X=Y=R ; A=Q alors f:Q->R ; x->1/(x-racine(2)) est bien définie et continue sur Q mais ne se prolonge pas à R.

[Ben314]

Merci @Ben314. :happy3:
Quelles sont ces hypothèses ?
Merci d'avance. :happy3:

Je pense qu'il y a des tas de possibilités...
Le truc trivial qui me vient à l'esprit, c'est de supposer que f est uniformément continue de A->Y et de supposer que Y est complet (=> l'image d'une suite de A convergeant dans X sera une suite de Cauchy de Y et ça va marcher)

Si tu suppose uniquement Y complet (voire même compact ce qui est plus fort) et pas f uniformément continue, ça ne marche pas, par exemple pour A=Q ; X=R ; Y=[0,1] alors f:Q->R ; x->0 si x1 si x>racine(2) est bien continue sur Q mais ne se prolonge en une fonction continue sur R.

[barbu23]

Si tu suppose uniquement Y complet et pas f uniformément continue, ça ne marche pas, par exemple pour X=Y=R ; A=Q alors f:Q->R ; x->1/(x-racine(2)) est bien définie et continue sur Q mais ne se prolonge pas à R.

Parce que par exemple, la suite récurrente : est inclus dans et converge vers , non ?
Donc, par hypothèse, est continue sur , mais aura du mal à se prolonger en , non ? mais quel lien a cela avec la continuité uniforme ?. C'est pas vraiment clair pour moi ça. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

Edit : Ah d'accord, si était uniformément continue, alors on aura : , non ? car est de Cauchy, et puisque est complet, alors : , donc serait définie en , non ? :mur:

Edit : Ah, tu as réedité ton message. :lol3:

Edit : Ah, j'ai compris. , et puisque n'est pas continue, alors ne converge pas. Or si, est complet et est uniformément continue, alors converge dans , mais il reste à montrer que le prolongement est continue en . Comment faire ?. :hein:

[Ben314]

J'ai réédité le message vu que le premier contre exemple que j'avais en tête était f:Q->R;x->1/(x-racine(2)) qui est non borné et que je me suis demandé si ça marchais ou pas en supposant Y compact.
Sauf que non...

[barbu23]

Si tu suppose uniquement Y complet et pas f uniformément continue, ça ne marche pas, par exemple pour X=Y=R ; A=Q alors f:Q->R ; x->1/(x-racine(2)) est bien définie et continue sur Q mais ne se prolonge pas à R.

Parce que par exemple, la suite récurrente : est inclus dans et converge vers , non ?
Donc, par hypothèse, est continue sur , mais aura du mal à se prolonger en , non ? mais quel lien a cela avec la continuité uniforme ?. C'est pas vraiment clair pour moi ça. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

Edit : Ah d'accord, si était uniformément continue, alors on aura : , non ? car est de Cauchy, et puisque est complet, alors : , donc serait définie en , non ? :mur:

Edit : Ah, tu as réedité ton message. :lol3:

Edit : Ah, j'ai compris. , et puisque n'est pas continue et n'est pas bornée au voisinage de , alors ne converge pas. Or si, est complet et est uniformément continue, alors converge dans , mais il reste à montrer que le prolongement est continue en . Comment faire ? ce qui peut ne pas être le cas. :hein:

[barbu23]

J'ai réédité le message vu que le premier contre exemple que j'avais en tête était f:Q->R;x->1/(x-racine(2)) qui est non borné et que je me suis demandé si ça marchais ou pas en supposant Y compact.
Sauf que non...

D'accord. Merci. :happy3:

[Ben314]

Parce que par exemple, la suite récurrente : est inclus dans et converge vers , non ?
Donc, par hypothèse, est continue sur , mais aura du mal à se prolonger en , non ? mais quel lien a cela avec la continuité uniforme ?. C'est pas vraiment clair pour moi ça.

Moi, ce que je ne vois pas, c'est le rapport entre ta question de départ et la suite récurrente que tu utilise ici : j'espère que tu sait que Q est dense dans R donc qu'il existe des suites de quotients qui tendent vers... tout ce qu'on veut... (donc en particulier vers racine(2))
Concernant le "lien avec la continuité uniforme", je te l'ai déjà écrit : si on suppose f uniformément continue de A (dense dans X) dans Y et Y complet, alors quelque soit xo dans X, il existe une suite d'éléments de A qui converge (dans X) vers xo, donc c'est une suite de Cauchy donc son image par f est une suite de Cauchy (car f est uniformément continue) qui converge dans Y vers un certain yo vu que Y est complet.
Il est alors très facile de montrer que
- Le en question ne dépend pas de la suite de A choisie.
- La fonction ainsi créé est uniformément continue sur X.

Ne veut rien dire : f n'est définie que sur Q donc f(racine(2)) n'existe pas.

...puisque n'est pas continue, alors...

La fonction f est continue.

[barbu23]

Moi, ce que je ne vois pas, c'est le rapport entre ta question de départ et la suite récurrente que tu utilise ici : j'espère que tu sait que Q est dense dans R donc qu'il existe des suites de quotients qui tendent vers... tout ce qu'on veut... (donc en particulier vers racine(2))

Non, je l'ai ajouté juste pour te dire que je sais à quoi tu penses. :lol3:
Le choix de n'est pas tombé du hasard il me semble. :happy3:
Si tu mettais , je n'aurai pas deviné à quoi tu pensais exactement. :happy3:

Concernant le "lien avec la continuité uniforme", je te l'ai déjà écrit : si on suppose f uniformément continue de A (dense dans X) dans Y et Y complet, alors quelque soit xo dans X, il existe une suite d'éléments de A qui converge (dans X) vers xo, donc c'est une suite de Cauchy donc son image par f est une suite de Cauchy (car f est uniformément continue) qui converge dans Y vers un certain yo vu que Y est complet.

D'accord, merci. :happy3:

fonction f est continue.

Non, je voulais dire "uniformément continue". Je l'ai corrigé avant même que tu poste ce message. :lol3:

Edit : @Ben314 : Sur la page suivante : http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node26.php , il est écrit que : , sais tu pourquoi ? C'est vers la fin de la page. :happy3:

[Ben314]

Quelque soit n,
Et, vu que et que , le premier et le troisième terme tendent vers 0 ça te permet de conclure.

[barbu23]

Merci beaucoup @Ben314 : :happy3:
Une dernière question si cela ne te dérange pas bien sûr :
Sur le même lien du poste précédent, il est dit que :
L'existence découle immédiatement du critère de Cauchy, grâce à la complétude de .
Peux tu m'expliquer comment ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Si on suppose f uniformément continue de A (dense dans X) dans Y et Y complet, alors quelque soit xo dans X, il existe une suite d'éléments de A qui converge (dans X) vers xo, donc c'est une suite de Cauchy donc son image par f est une suite de Cauchy (car f est uniformément continue) qui converge dans Y vers un certain yo vu que Y est complet.

[barbu23]

Quel lien existe -t-il entre et ? , non ?

[Ben314]

On se DONNE un .
On CHERCHE comment définir .
On "agite les mains" (et on construit un certain ) et on termine en disant qu'on va PRENDRE (par définition)
Et on vérifie bien sûr que le construit ne dépend QUE DE est pas d'autre chose (c.f. cours de seconde sur les "fonctions") puis que la fonction est uniformément continue.