Prolongement de solution

[Lostounet]

Bonjour,

Soit f de classe de dans
On suppose que f vérifie, pour tout x tel que ||x|| = 1, ( (|) est le produit scalaire canonique et la norme est la norme induite)
Soit dans R^2 tel que
On note: -> R^2 la solution maximale de vérifiant

Mes questions:
1) Pourquoi est-ce que pour tout t dans ?
J'ai essayé de manipuler (phi(0) | phi(0)) mais je pense que je n'ai pas fait intervenir la maximalité de phi donc pas bon

2) Montrer que si est fini alorsadmet une limite à gauche de

Bon les idées ne sont pas trop nouvelles mais c'est la condition sur le produit scalaire que je ne comprends pas qualitativement. Merci de votre aide

[Ben314]

Salut,

...c'est la condition sur le produit scalaire que je ne comprends pas qualitativement. Merci de votre aide

Fait un dessin non de sort !!!
Si une courbe est , telle que et qu'elle coupe à un moment donné le cercle trigo., que peut tu dire du vecteur vitesse à ce moment là ?
Qu'en déduit tu concernant le "sens" dans lequel ça coupe : de l'extérieur du cercle vers l'intérieur ou le contraire ? (et éventuellement est-ce possible que la courbe soit tangente au cercle ?)
Conclusion.

Sinon, concernant ton <phi(0) | phi(0)>, je voit pas à quoi ça peut te mener vu que, comme phi(0) n'est pas sur le cercle trigo, ben tu ne sait rien de (phi(0) | phi(0)).
Et la maximalité de phi n'a évidement absolument rien à voir avec le problème : si toute solution "maximale" reste dans la boule unité (pour t>0) alors toute solution "tout court" (i.e. maximale ou pas) reste évidement elle aussi dans la boule unité !!!

J'ai pas trop regardé le 2) qui a mon avis n'a pas grand chose à voir avec le 1), ni avec l'hypothèse (x|f(x))<0 sur le cercle trigo qui ne sert qu'à montrer que phi(t) reste dans la boule unité pour t>0.

[Lostounet]

Salut Ben, je fais toujours des dessins mais ici j'ai été rebuté par le R^2 de départ.

Bref si x est de norme 1 (sur le cercle trigo) alors:
<phi' | x> = <f(phi) | x>

Je crois qu'on a un angle obtus .. qui ramène la solution vers l'intérieur?

[Ben314]

Oui.
Et c'est plutôt :
Si phi(t) est sur le cercle trigo alors <phi'(t)|phi(t)>=<f(phi(t))|phi(t)> < 0 et ça montre que phi'(t) est dirigé "vers l'intérieur" du cercle donc que la courbe "rentre" dans le cercle et ne peut jamais en "sortir".

Reste à rédiger ça proprement (le plus simple est évidement d'introduire le bon "truc"...)

[Lostounet]

Ah! en fait le phi(0) permet de dire que l'on place phi au départ dans le "cercle trigo"!
Et dès qu'elle coupe ce cercle elle est ramenée violemment (strictement) vers l'intérieur à cause de la condition.

Bon faudra que je fasse le lien avec le t qui est dans l'intervalle proposé. J'ai l'impression que c'est pour tout t positif mais la logique de l'énoncé veut une distinction (beta fini et beta infini)

[Ben314]

Ben... non :
Vu que phi est supposée dérivable, elle ne peut pas être "ramenée violemment" dans la boule. Si elle "rentre" dans la boule, c'est forcément qu'elle vient de l'extérieur (le vecteur vitesse "juste avant" d'arriver sur le cercle trigo et le même que celui "juste après").
Donc si en t=0 la courbe est dans la boule unité, ben c'est qu'elle va y rester ad vitam æternam pour toute la suite de son trajet (i.e. pour t>0).
Par contre, pour t<0, elle a éventuellement pu rentrer à un moment donné dans la boule et franchir le cercle trigo, mais évidement une unique fois. En bref, le truc du produit scalaire <0, ça te dit que le cercle trigo, c'est une porte "à sens unique" qui ne se franchit que de l'extérieur vers l'intérieur et il me semble que c'est super visible sur un dessin (du champs de vecteur).

[Lostounet]

Merci pour ces explications.

Donc oui si phi(0) est dans la boule phi reste dans la boule et donc ce que tu dis c'est que sur t<0 ça aurait pu ne pas être le cas jusqu'à un moment donné.

C'est effectivement très visuel si on prend dans R.

Mais quand tu dis que la 2) n'a absolument rien à voir avec la 1...
Je ne vois pas pourquoi il y aurait pas de limite à gauche de beta.
Est-ce lié au lemme de sortie des compacts? faut-il un argument de "croissance"

[Ben314]

Mais quand tu dis que la 2) n'a absolument rien à voir avec la 1...
Je ne vois pas pourquoi il y aurait pas de limite à gauche de beta.
Est-ce lié au lemme de sortie des compacts? faut-il un argument de "croissance"

Bis et répéta : le seul truc du 1) utile pour le 2), c'est que la courbe reste dan la boule unité. La condition sur le produit scalaire, elle sert évidement à rien vu que la courbe ne (re)passe pas par le cercle trigo.
La phrase en bleu, je comprend pas ce qu'elle veut dire (comme c'est souvent le cas lorsqu'une phrase contient deux négations...)
Concernant la notion de compact, ça forcément c'est souvent utile pour prouver l'existence de "trucs" et là, comme par hasard, on a montré que la courbe reste dans un domaine borné...
Concernant la "croissance", si tu précise pas la croissance de quoi, ben je vois pas trop en quoi ça peut aider. Comme dans R^2 y'a pas de relation d'ordre (naturelle), à priori, je vois pas trop le rapport....

[Lostounet]

Pour la croissance je parlais de la norme de phi au voisinage de Bêta-.

Donc je cherche à appliquer le lemme des compacts

[Lostounet]

On me demande ensuite:

On note E la limite à gauche en beta.

Soitsolution locale de x' = f(x) avec
On définit:

si t dans ]alpha ; beta[
et si t dans

Montrer qu'on a ainsi un prolongement strict de phi et que bêta = + infini

En fait je pense qu'on doit vérifier le raccord par dérivabilité ? en beta? Mais je ne vois pas ce qu'il y a à "prouver". Qu'en penses-tu ?

[Ben314]

Ben ce qu'il y a à prouver, c'est qu'effectivement "ça raccorde proprement" en beta, mais il me semble que ça découle quasi immédiatement des hypothèse.
Et ensuite, effectivement, tout le laïus ci dessus (en particulier le fait que le limite à gauche en beta existe) n'a de sens que si beta est fini et tu en déduit une belle contradiction avec la supposée minimalité de la solution donc beta=+oo.

Bref, là, c'est du "tout cuit".

Sinon, tu as fait la 1) et la 2) proprement ?

[Lostounet]

Je vais commencer/essayer... Tu as raison c'est pas trivial à rédiger.

Je note |.| la norme induite par le produit scalaire.

1) Supposons que avec
On a bien, comme f est C1 elle est localement lipschitzienne, et que par Cauchy-lipschitz on a bien une solution unique.

Si |phi(t)| = 1 pour un certain t, <phi'(t)|phi(t)>=<f(phi(t))|phi(t)> < 0
donc...euh |phi(t+eps)| < 1 ??

2) On applique le lemme de sortie des compacts: il me semble que c'est assez proche de ce qu'il y a ici fin page 6 début page 7 http://math.univ-lyon1.fr/~vovelle/2Cours.pdf

[Ben314]

Pour le 1), si tu veut que tout "coule de source", tu as qu'à considéré la fonction :
.
Qui est dérivable (pourquoi ?).
Que peut-on dire de ?
Si pour un certain on avait , que pourrait on dire de ?
Pourquoi est-ce contradictoire ?

[Lostounet]

Le produit scalaire est différentiable et phi est dérivable par hypothèse.

On a que |W(0)| < 1
Si on suppose que pour un certain t>0 W(t) = 1, alors <phi(t)|phi(t)> = 1
Cela implique |phi(t)| = 1 et que donc W'(t) = 2<phi'(t)|phi(t)> est négatif donc W est décroissante?

[Ben314]

Le produit scalaire est différentiable et phi est dérivable par hypothèse.
On a que |W(0)| < 1
Si on suppose que pour un certain t>0 W(t) = 1, alors <phi(t)|phi(t)> = 1
Cela implique |phi(t)| = 1 et que donc W'(t) = 2<phi'(t)|phi(t)> est négatif donc W est décroissante ?

Oui, mais le truc bleu est évidement "à préciser" : décroissante sur quel intervalle ? (et pourquoi ?)
Et il "reste" le

Pourquoi est-ce contradictoire ?

[Lostounet]

Sur l'intervalle que décrit t non? ] alpha; beta[

Mais cela ne contredit-il pas le lemme "d'explosion des solutions" en dimension finie?

[Ben314]

Sur l'intervalle que décrit t non? ] alpha; beta[

Surement pas.
Tout ce que tu sait, c'est que, si pour un certain on a alors .
Au mieux, et en utilisant la continuité de , ça prouve que est décroissante sur un petit intervalle ouvert contenant , mais on a même pas besoin de ça.

Ce truc est contradictoire du fait que, si prenait au moins une fois une valeur pour alors serait une partie non vide de donc admettrais une borne inf qui vérifierais évidement (donc ) mais aussi vu que si alors donc )

Bref, une fonction dérivable qui part en dessous de la droite y=1 et qui n'a le droit de couper cette droite que de "haut en bas" (i.e. avec une dérivée <0), ben c'est qu'elle la coupe jamais et donc qu'elle reste toujours en dessous.

Mais cela ne contredit-il pas le lemme "d'explosion des solutions" en dimension finie ?

a) Je sais pas ce que c'est ton théorème.
b) Je ne pense pas qu'il y ait un quelconque rapport avec la choucroute vu que les seul arguments utile ici, c'est de la bête analyse à deux sous de fonction dérivable de R->R.