Prolongement par continuité

[M4tidde]

Bonjour,

Soit la fonction f telle que f(x) = (sqrt(2-2cos(x))+3x)/x
Cette fonction n'admet pas de limite en 0, or, il y a des prolongements à droite et à gauche que je n'arrive pas à démontrer

Cordialement,

[chan79]

salut
un indice:

[Black Jack]

Développement en série de cos(x) (près de 0)

cos(x) = 1 - x²/2 + o(x²)

1 - cos(x) = x²/2 + o(x²)

sqrt(2.(1-cos(x)) |x| (prés de 0)

...

Et cela conduit donc à lim(x--> 0-) f(x) = 2 et lim(x--> 0+) f(x) = 4

Vérifie.

[Black Jack]

Pas vu la réponse de chan79 avant d'envoyer la mienne.

[M4tidde]

Merci beaucoup !!

[M4tidde]

Rebonjour,

Je rencontre le même problème avec 2 autres fonctions :
- f(x) = (sin(2x))/(srqt(1-cos(x)) en 0
Je sais qu'en 0- je devrais trouver -2sqrt(2) et en 0+, 2sqrt(2) mais je n'arrive pas à le démontrer.
- g(x) = (sqrt(2cos(x))-1)/(2cos(2x)+1) en pi/3 ce qui devrait me donner lim g(x) en pi/3 = 1/4
J'ai commencé par transformer 2cos(2x)+1 en 1-4(sin(x))^2 dont la limite en pi/3 donne -2

Pouvez-vous m'aider svp ?

Cordialement

[chan79]

pour f, encore le même indice:

[M4tidde]

Cela me donne :
En 0- : -sin(2x)/(sqrt(2)sin(x/2))
En 0+ : sin(2x)/(sqrt(2)sin(x/2))
Mais je ne vois pas comment obtenir -2sqrt(2) et 2sqrt(2)

[zygomatique]

salut



t(x) ne pose aucun pb ...

si x > 0 alors

si x < 0 alors

...

[zygomatique]

si x > 0 alors

si x < 0 alors

[M4tidde]

t(x) va tendre vers 2 quand x tend vers 0 mais u(x) je ne vois pas comment il peut tendre vers sqrt(2)

[pascal16]

(sqrt(2-2cos(x))+3x)/x
=(sqrt(4sin²(x/2)+3x)/x
= (2|sin(x*2)|+3x)/x
= 3 +2|sin(x*2)|/x

pour x<0
= 3 - 2sin(x*2)/x
tends vers 2 quand x tend vers 0-
pour x>0
= 3 + 2sin(x*2)/x
tends vers 4 quand x tend vers 0+

[chan79]

et sin(x)=2sin(x/2)*cos(x/2)

[M4tidde]

J'ai compris merci beaucoup !

[Black Jack]

Je rencontre le même problème avec 2 autres fonctions : f(x) = (sin(2x))/(srqt(1-cos(x)) en 0

Autrement (par la méthode de ma réponse précédente) : on a : sqrt(2.(1-cos(x)) |x| (prés de 0)

Et donc : sqrt(1-cos(x) = |x|/sqrt(2) (prés de 0)


Près de 0 : f(x) = sin(2x)/|x| = 2.sin(x)/|x| * cos(x)

lim(x-->0) f(x) = lim(x-->0) [2*sin(x)*cos(x) * sqrt(2)/|x|] = 2*sqrt(2) * lim(x-->0) [sin(x)/|x| * cos(x)]

Et comme lim(x-->0) sin(x)/x = 1, il vient :

a) lim(x-->0-) f(x) = 2*sqrt(2) * lim(x-->0-) [sin(x)/(-x) * cos(x)] = 2*sqrt(2) * (-1) * 1 = - 2*sqrt(2)

b) lim(x-->0+) f(x) = 2*sqrt(2) * lim(x-->0+) [sin(x)/x * cos(x)] = 2*sqrt(2) * 1 * 1 = 2*sqrt(2)

[M4tidde]

Merci ca devient plus clair