Prolongement et équation différentielle

[aureusa]

bonjour a tous,
j'ai un soucis sur un exo d'équa diff
c'est une EDL d'ordre 2 a coeff non constant avec second membre
E : x(x+1)*y''+(x+2)*y'-y=x*exp(x)
que l'on résout sur un intervalle I ne contenant ni 0 ni -1 pour que la théorie s'applique.
1-on trouve les solutions du systeme(H) homogènes(sev de dim 2) sur I,puis on prolonge en 0 et -1 et on a un sev de dim 1 : vect(x-->1+x/2)
2- on trouve une sol particuliere ie y_0:x-->exp(x)/x
3- trouver toutes les solutions sur R
et c'est la que ma question intervient:
je dois refaire le prolongement en 0 et -1 avec les fonctions solution sur I,ou alors est ce que je peut utiliser le prolongement des solutions de H?y a t-il un rapport entre le prolongement sur R de H et de E ou faut recommencer tous le travail?le fait que y_0 soit def en -1 et pas en 0 change t-il quelque chose?
merci par avance
aurélien

[emdro]

Bonjour,

il faut refaire le travail.

En effet, sur les trois intervalles où l'équation était normalisée, tu obtenais des solutions de H de la forme x->A(1+x/2)+B/x.
Le raccordement pour obtenir une solution maximale de l'équation homogène t'a contraint à prendre B=0.

Maintenant, si tu considères l'espace affine des solutions de E sur les trois intervalles, tu vas obtenir x->A(1+x/2)+B/x+exp(x)/x.

Si tu veux obtenir une solution définie en 0, il te faudra poser B=-1.
Alors que si tu partais de la solution maximale de H, tu obtiendrais:
x->A(1+x/2)+exp(x)/x, sans aucune possibilité de la prolonger en 0.

Cela a effectivement un rapport avec le fait que y0 était définie en -1 et pas en 0.

[leon1789]

Au fait, que penses-tu de
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=86424
et
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=86466
?

Les réponses te conviennent ou pas ?