Projections

[sad13]

Bonsoir, un exo qui me perturbe malgrès que j'ai trouvé une correction assez confuse à son sujet et dont je n'ai pas le moyen pour la scanner hélas et je ne pense pas que le scan soit possible sur ce site.

ceci dit voici l'énoncé:

Soit E un K-e.v de dimension finie.

F est dans L(E).Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
i) il existe deux projecteurs p,q de E tels que :
f=p-q et Im(p)=Im(q)

ii) f²=0


Voilà si vous avez des idées simples sinon je vous dis l'idée du corrigé et ce qui me perturbe dedans , merci de votre aide

[Ben314]

Salut,

Le sens i) => ii) est assez simple : vu que f=p-q on a f²=p²-pq-qp+q².
Or p²=p et q²=q (projecteurs) et, vu que Im(p)=Im(q) on a pq=q et qp=p d'où f²=0

ii)=>i) est un peu moins simple vu qu'il faut fabriquer p et q.
Si je ne m'abuse, en prenant un projecteur quelconque q tel que Im(q)=Ker(f) puis en posant p=f+q, ça marche (je te laisse vérifier)

[Ben314]

Edit : un peu plus généralement, tout projecteur q tel que Im(f) c Im(q) c Ker(f) marche et ce sont les seuls qui marchent.

(j'aurais bien édité le message précédent mais....)

[sad13]

Merci beaucoup mais justement mon souci est dans cette justification

"vu que Im(p)=Im(q), on a pq=q et qp=p"

merci


PS pourquoi le webmaster n'intègre pas l'option "Edit"?

[Ben314]

"vu que Im(p)=Im(q), on a pq=q et qp=p"

Pour tout x de E, comme q(x) est dans Im(q)=Im(p), il existe un y de E tel que q(x)=p(y).
Donc p(q(x))=p(p(y))=p(y)=q(x) (car p²=p)

PS pourquoi le webmaster n'intègre pas l'option "Edit"?

Ben le "Webmaster" comme tu dit, aprés avoir fait un sondage concernant le fait de limiter ou pas le temps d'édition des messages (sondage ayant eu pour résultat de montrer que la majorité été contre la limite de temps) a décidé de... limiter le temps d'édition des messages à 10 minutes !!!
Je ne sais plus qui à écrit que : "La seule façon de prouver qu'on a du pouvoir, c'est d'en abuser..."

[sad13]

Ok merci beaucoup, je pense avoir compris, la preuve "bein " pour montrer que qp=q, on procède de même:

q étant un projecteur , ona : q°q=q .

Soit x de E et y=q(x) donc appartient à Imq=Imp .
d'où y=q(x)=p(x) ce qui nous donne q(y)=y.

On conclut que : qp(x)=p(x).

[sad13]

Merci de me confirmer si c'est bon et je vais méditer sur la réciproque , bonne soirée.

[Ben314]

Oui, c'est parfaitement bon.

[sad13]

merci , vous êtes en forme ces temps ci. ça fait plaisir.