Projection d'un vecteur par rapport à un autre.

[AlexG]

Bonjour,

Pour commencer, je me permet de vous indiquer que je suis biologiste, et que par conséquent mon vocabulaire mathématique est limité. Je vais quand même tenter des vous exposer mon problème :

Je possède deux fichiers contenant chacun des distances sous forme d'un vecteur entre un point A et B d'une part et entre un point B et C d'autre part. Par exemple, pour mon premier vecteur (je l’appellerai a->) j'ai les infos suivantes :
2,10 (distance en angström, peu importe) ; 1,56 (coordonnées x); -1,41 (y); -0,02 (z).

Même schéma pour mon second vecteur (b->)

Ce que je voudrais, c'est "placer" mon vecteur b au bout du vecteur a, et regarder "l'ombre projetée" au sol du vecteur b. Un peu comme si le vecteur a devenait mon axe z et que je regardais les coordonnées x et y du vecteur b projeté.

Je ne sais pas si je suis très clair, donc j'ai fait un petit dessin pour mieux expliquer.

http://img15.hostingpics.net/pics/353718vecteurs.png

Merci d'avance pour votre aide, et n'hésitez pas à demander des précisions supplémentaires.

[Ben314]

Salut,
En ce qui me concerne, c'est un peu ambigüe concernant la "projection" : tu projette sur quoi parallèlement à quoi ?
- Concernant le "sur quoi", ça semble clair : tu projette "au sol" donc sur le plan Oxy (d'équation z=0) (l'autre option "raisonnable" était de projeter sur le plan orthogonal au vecteur a)
- Concernant le "parallèlement à quoi", je pense (mais pas totalement sûr) que tu projette parallèlement à la droite dirigée par a, c'est à dire que, sur ton 3em dessin, la droite reliant les "bout" de a+b et du projeté b' (en pointillé vert) est parallèle à la droite dirigée par a.

Si c'est bien ça, alors de projeter b "mis au bout de a" ne sert pas à grand chose : tu aurais directement projeté b (parallèlement à la droite dirigée par a) c'était pareil.

Après, au niveau calcul, ça veut dire que tu cherche l'intersection de Oxy avec la droite dirigée par a et passant par l'extrémité de b.
Les points de cette droite sont ceux de la forme b+t.a avec t réel, c'est à dire de la forme
(Xb+t.Xa ; Yb+t.Ya ; Zb+t.Za).
Pour qu'un tel point soit dans le plan Oxy, il faut que Zb+t.Za=0, c'est à dire que t=-Zb/Za et le point en question a alors pour coordonnées :
(Xb-(Zb/Za)Xa ; Yb-(Zb/Za)Ya ; 0 )

[adrien69]

Salut,
Je vais supposer que les axes x et y ne bougent pas, si ce n'est pas le cas dis-moi comment tu veux qu'ils bougent et j'adapterai.

Si a=(u,v,w) dans la base (x,y,z), si b=(g,h,i) dans la base (x,y,z),

La matrice de passage de (x,y,z) à (x,y,a) est P ayant l'écriture suivante



Et si b' est le "nouveau" vecteur b exprimé dans (x,y,a), on a b=Pb' , c'est-à-dire l'ancien vecteur en fonction du nouveau, oui, je sais, c'est chiant.

Mais c'est une matrice 3x3 et qui en plus s'inverse méga bien.

Si ,



Et donc

Tu n'as plus qu'à remplacer par tes valeurs puis à regarder les deux premières coordonnées.

[adrien69]

Salut,
En ce qui me concerne, c'est un peu ambigüe concernant la "projection" : tu projette sur quoi parallèlement à quoi ?
- Concernant le "sur quoi", ça semble clair : tu projette "au sol" donc sur le plan Oxy (d'équation z=0) (l'autre option "raisonnable" était de projeter sur le plan orthogonal au vecteur a)
- Concernant le "parallèlement à quoi", je pense (mais pas totalement sûr) que tu projette parallèlement à la droite dirigée par a, c'est à dire que, sur ton 3em dessin, la droite reliant les "bout" de a+b et du projeté b' (en pointillé vert) est parallèle à la droite dirigée par a.

Personnellement je me suis demandé si les vecteurs x et y restaient les mêmes, justement du fait de l'orthogonal à a.

[AlexG]

Merci pour vos réponses,

Pour être plus clair :
Imaginez que j'ai un parapluie le manche représentant mon vecteur "a" et l'une des baleines mon vecteur "b". Et je voudrais savoir, en cas de pluie, jusqu'où ma baleine "b" va protéger le sol de la pluie. Le problème étant que mon parapluie, en l'état actuel, est penché, et moi je voudrais qu'il soit droit.

Donc d'après ce que je comprend de vos réponses, il faudrait que je corrige mon plan pour qu'il soit aligné avec le manche de mon parapluie ("a")

[Ben314]

Pour reprendre ton exemple de parapluie, que ce soit moi ou adrien (c'est la même vision du problème), on a compris ton "on prend a comme axe des z" comme signifiant que la pluie tombe parallèlement au manche du parapluie.

L'autre truc qui me faisait penser ça, c'est que sur ton 3em dessin, il semblait que la projection de a (i.e. du manche du parapluie) soit réduite à un point -> on projette dans l'axe du manche.
Si la pluie ne tombait pas parallèlement au manche, la projection du manche au sol ne serait pas un point, mais tout un segment...

Aprés, il me semble que ce n'est pas à toi de "corriger" quoi que ce soit, mais simplement d'expliquer comment tu projette : pour reprendre l'exemple du parapluie, je vois 3 possibilités :
1) La pluie tombe parallèlement au manche du parapluie et on regarde au sol le bout de la partie "non mouillée" correspondant au bout de la baleine.
2) La pluie tombe verticalement et on regarde au sol le bout de la partie "non mouillée" correspondant au bout de la baleine. (dans ce cas, la projection du manche n'est pas un point)
3) La pluie tombe tombe parallèlement au manche du parapluie et on regarde sur un plan perpendiculaire au manche le bout de la partie "non mouillée" correspondant au bout de la baleine (donc on projette sur un sol penché et la pluie tombe à la perpendiculaire de ce sol)

[AlexG]

la 3), il me semble, correspond à ce que je cherche : la pluie tombe parallèlement au manche du parapluie et on regarde du dessus vers le sol (perpendiculaire au parapluie) pour "localiser" le bout de la baleine. (ça correspond au dernier schéma sur l'image)

Merci encore pour votre aide.