Projection sur sous-espace affine et complexité

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Rhaegar
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Projection sur sous-espace affine et complexité

par Rhaegar » 23 Nov 2021, 20:51

Bonsoir,

Voici mon problème :
On se place dans avec grand. Soit très petit devant . Je possède relations affines de la forme avec . Je pose le sous-espace affine de défini par ces relations. Je souhaite calculer une projection orthogonale d'un point de sur cet espace.
On a M de dimension car déterminé par relations. (Je suppose que le calcul final de la projection consistera à inverser un système linéaire déterminé par une matrice de taille dont il faut déterminer les coefficients).

Voici ma solution :
Soit que l'on souhaite projeter sur .

1- On calcule un point qui fera office d'origine à translation près. On le fait en se fixant coordonnées arbitraires, on les injecte dans les relations affines. Les dernières coordonnées sont alors obtenues en inversant un système linéaire de taille .

2-On calcule une base de , la direction de . Pour cela, on fixe pour avoir les équations linéaires caractérisant puis on échelonne le système. On trouve alors naturellement une base de vecteurs en fixant des coordonnées à . Notons cette base .

3- On orthonormalise cette base à l'aide de l'algorithme de Gram-Schmidt.

4- On translate par

5- On projette sur par la formule . (Avec le produit scalaire).

6- On applique la translation dans l'autre sens pour obtenir le résultat souhaitée :

Voici mes questions :
Est-ce que mon algorithme est bon ?
Mon but étant de programmer cet algorithme, je souhaite estimer sa complexité et savoir s'il n'y en a pas un meilleur. la valeur de a-t-elle un impact notable sur la complexité (si je prend plutôt proche de ) ? Qu'en pensez-vous ?

En vous remerciant,

Rhaegar



 

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