Projection sur Imf dans une base

[Engel10]

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien.
Voici un exercice que j'ai traité mais je bloque sur les deux dernières questions.


En fait, je ne comprend pas quand il est dit '' projection sur Imf dans une base formée de la réunion d'une base de Imf et de son orthogonal. ''

Imf est de dimension 2 et les vecteurs qui l'engendrent sont (1, 0, 1) (0, 1, 1)
Et l'orthogonal de Imf est engendré par (-1,-1,1,0) (0,0,0,1)

Que va donner la réunion des deux bases ?
On a des vecteurs de trois et quatre coordonnées. Je ne vois pas trop.

Et ce que j'ai appris à faire c'est de déterminer une projection sur un espace vectoriel, sans préciser de base. Mais ici une base est spécifiée.
Je veux des indications.

Merci d'avance !

[Mateo_13]

Bonjour,

L'ensemble d'arrivée est de dimension 3 donc l'orthogonal de Im f doit être de dimension 1.

Cordialement,
--
Mateo.

[Engel10]

Oui mais dans la question 3 , on n'a identifié R³ à R⁴×{0} .
C'est la raison pour laquelle j'ai obtenu deux vecteurs pour l'orthogonal de Imf.

[Mateo_13]

Oui mais dans la question 3 , on n'a identifié R³ à R⁴×{0} .
C'est la raison pour laquelle j'ai obtenu deux vecteurs pour l'orthogonal de Imf.

Cette identification, je suppose qu'elle ajoute simplement un zéro aux 3 coordonnées d'un vecteur de , donc elle identifie (1 ; 1 ; 1) à (1 ; 1 ; 1 ; 0) donc tes vecteurs de 3 coordonnées en ont maintenant 4, ce qui devrait résoudre ton problème.

[Engel10]

Merci..
Svp je n'arrive pas à traiter la question 4. Je veux des indications.

[GaBuZoMeu]

Deux possibilités :
1) Tu pars du résultat de la question 3 et tu fais un changement de base par la recette habituelle (cf ton cours).
ou
2) Tu fabriques une base orthonormale de l'image de f (Gram-Schmidt) et tu appliques la recette habituelle pour la projection orthogonale sur un sous-espace dont tu as une base orthonormale (cf ton cours).

[Engel10]

Merci.
Mais j'ai du mal à comprendre ce qu'on me demande cette question ( question 4 ).
Ce que je comprend est qu'on me demande de choisir une base dans la réunion de Imf et de son orthogonal. Ensuite d'écrire la matrice de la projection orthogonale sur Imf dans cette base ( c'est précisément ce que je ne comprend pas ) .
Je sais que Imf est de dimension 2, Or une base de la réunion est de dimension 4.
Excusez moi je fais des erreurs un peu ridicules, mais c'est ce que vois
Merci !

[GaBuZoMeu]

Et ce que j'ai appris à faire c'est de déterminer une projection sur un espace vectoriel, sans préciser de base. Mais ici une base est spécifiée.

Si tu écris une matrice de projection, c'est toujours dans une base ! Tu n'en as peut-être pas conscience parce que tu écris la matrice dans la base canonique (orthonormée). Et justement ici, dans la question 4, on te demande la matrice de projection dans la base canonique.
Tu as ici un sous-espace vectoriel de . Applique ce que tu as appris et détermine la projection orthogonale sur ce sous-espace. On verra ce que ça veut dire pour toi.

[Engel10]

Dans R⁴, Imf est engendré par les vecteurs u=(1,1,0,0) et v=(0,1,1,0)
Je note B la matrice de la projection sur Imf et A la matrice 2×4 dont les colonnes sont formés des vecteurs u et v.
Alors B=A·(transposée(A)·A)⁻¹·transposée(A)
C'est ce que je vois.

[Engel10]

Personne pour m'aider à comprendre