Projection sur épigraphe

[klaimouad]

Bonsoir chers analystes

Exercice:
Soit une fonction convexe. Soit , où epi f désigne l'épigraphe de f . On pose i.e., la projection de sur
1°) Justifier l'existance et l'unicité de .
2°) Montrer que .
3°) Montrer que .
4°) Montrer que où est le sous-différentiel de f en .

J'ai justifier la premier question par le fait que epi f est un fermé
puis la deuxieme question une inégalité est claire car . puis je sais plus comment faire

[FLBP]

Hello,
Pour la 1) C'est plutôt par la définition d'un fonction.
Et pour la 3) Relis simplement la définition d'un épigraphe.
Cordialement.

[Ben314]

Salut,
Pour la 1), je comprend pas la remarque de FLBP : quel rapport y-a-t-il entre "la définition d'une fonction" et la question posée ?
Par contre, ta réponse "parce que l'épigraphe de f est fermé", là, je comprend sauf que j'aimerais bien un peu plus de détail : peut-tu me rappeller comment on prouve que la projection sur un fermé existe et surtout qu'elle est unique.

Pour la 2), effectivement, on a trivialement , mais que se passerait-il si on avait (fait un dessin...)

Pour la 3), c'est relativement évident sur un dessin : Les points et sont dans l'épigraphe de donc le segment aussi . . .

[FLBP]

Ce que je voulais dire c'est que :

Pour tout élément de A il existe un unique élément de B qui lui correspond.

[capitaine nuggets]

Salut :

Je suis d'accord avec Ben314, je pense que ce qui est attendu ici est plus un argument "analyse fonctionnelle" : il faut montrer qu'il existe un seul et unique point minimisant une distance (théorème de projection sur un convexe fermé si je ne m'abuse).

[klaimouad]

Bonsoir
pour montrer l'existance et l'unicité de la projection sur un fermé on utilise le théoreme des fermés emboités qui dit que si un espace métrique est complet alors, pour toute suite décroissante de fermés non vides Fn de E dont le diamètre tend vers zéro, l'intersection des Fn est réduite à un point.
puis si on note d la distance entre x et C on pose les , il reste donc à montrer que le diametre de Fn tend vers 0 et c'est fini

[klaimouad]

Ben314 je n'arrive pas à faire un dessin est je n'arrive non plus à trouver une contradiction de