Projecteurs (EV)
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mathelot
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par mathelot » 01 Oct 2015, 13:09
bonjour,
Soit
tout
s'écrit de manière unique
On pose
 := x_i)
1. Montrer que
est un projecteur et que
Une famille de projecteurs vérifiant les deux propriétés ci-dessus est dit "système complet de projecteurs".
Réciproquement, on suppose qu'il existe un système complet de projecteurs
Montrer que E est somme directe des images des
.
Dans la réciproque, comment montrer que la somme est directe?2
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Robot
par Robot » 01 Oct 2015, 14:14
En montrant que si
, avec
)
pour
, alors tous les
sont nuls. Ca se fait en une demi-ligne.)
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MouLou
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par MouLou » 01 Oct 2015, 14:24
Si
avec
)
et si
que se passe t il si tu composes par
?
Edit: Oui pas besoin d'écrire une combinaison linéaire mais juste une somme!
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mathelot
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par mathelot » 01 Oct 2015, 14:32
Robot a écrit:En montrant que si
, avec
pour
, alors tous les
sont nuls. Ca se fait en une demi-ligne.)
j'en déduis
=0)
pour tout i. Pour la démo, je ne vois pas.
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Robot
par Robot » 01 Oct 2015, 15:01
Si
est un
projecteur et
)
, que vaut
)
?
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MouLou
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par MouLou » 01 Oct 2015, 15:01
mathelot a écrit:j'en déduis
pour tout i. Pour la démo, je ne vois pas.
Et Pi(xi) c'est quoi sachant que xi est dans Im(Pi)?
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JaCQZz
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par JaCQZz » 01 Oct 2015, 15:10
mathelot a écrit:Dans la réciproque, comment montrer que la somme est directe?2
Utiliser que
est projecteur
On a :
 = rg(Id) \\<br />E = Id(E) = (\bigsum_{i=1}^{q} p_i)(E) \\<br /> \subset \bigsum_{i=1}^{q} p_i(E) \subset E \\)
D'où :
On pose :
 \\<br /><br />E = \bigsum_{i=1}^{q} E_i \\<br /><br />dim E = \bigsum_{i=1}^{q} dim E_i)
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mathelot
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par mathelot » 01 Oct 2015, 16:14
ok, c'est bon, merci.
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