[MPSI]E.V et projecteurs

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Je dois montrer que, pour p et q projecteurs :

p o q + q o p = 0 => p o q = q o p = 0

Comment montrer ca rapidement ??

[Anonyme]

Bonsoir

> Je dois montrer que, pour p et q projecteurs :
>
> p o q + q o p = 0 => p o q = q o p = 0
>
> Comment montrer ca rapidement ??
>

C'est toujours pareil faut utiliser la propriété pop=p (et qoq=q) et on
trouvera bien un truc. On a en composant par p (à gauche ou à droite):

poq+poqop=0 (i)
poqop+qop=0 (ii)

(i) et (ii) te donnent poq=qop, et alors (i) devient poq+qopop = 0, ie
poq+qop=0, ie poq = -qop et poq = +qop, donc poq = qop = 0.

--
J.S

[Anonyme]

"Vincent SPRIT" a écrit dans le message de news:
4017f98d$0$32539$626a54ce@news.free.fr...
> Bonjour à tous,
>
> Je dois montrer que, pour p et q projecteurs :
>
> p o q + q o p = 0 => p o q = q o p = 0
>
> Comment montrer ca rapidement ??
>
>
On suppose que
(1) pp=p
(2) qq=q
(3) pq+qp=0
Alors en composant (3) par p à gauche, on obtient
ppq+pqp=0, donc pq+pqp=0 (4)
D'autre part, en composant (3) par p à droite, on obtient
pqp+qpp=0, donc pqp+qp=0 (5)
De (4) et (5) on déduit pq=qp. Or d'après (3), pq=-qp, donc pq=qp=0

[Anonyme]

Si p et q sont deux projecteurs de E, alors on a bien :

Im p + Im q = Im (p+q) (je l'ai montré, double inclusion)

Im (p+q) + Ker (p+q) = E <=> Im p + Im q + Ker (p+q) = E <=> Ker (p+q) = Ker
p + Ker q

non ?