Projecteurs orthogonaux et orthonormalisation

[Charlo]

Bonsoir à tous ! J'ai une petite question à vous soumette concernant le procédé d'orthonormalisation de Gram Schmidt, en espérant que vous pourrez m'éclairer...

On considère un de dimension finie , une famille de vecteurs de et on note pour tout : .

Pour tout vecteur non nul on a le projecteur tel que .
On pose également pour tout , .

On sait que : .

On définit par récurrence la famille de vecteurs telle que :
et , .

Montrer que :

, .

Avec la formule de l'énoncé j'arrive à :

, .
Bref, j'ai des à la place des ...

Quelqu'un peut me dire où ça cloche ? :hein:
Merci !

[Ben314]

Salut,

On pose également pour tout , .

Premier soucis : ta definition juste au dessus ne définit que la projection sur des s.e.v. de dim 1 alors que là tu utilise la projection sur un s.e.v. de dim k (ce n'est pas trés grave, mais il faut une nouvelle définition...)

On sait que : .

Ben.... C'est là que ca "coince" : pour que ce soit vrai, il faudrait que les vecteurs soient deux à deux orthogonaux (et dans ce cas, ça ne serait plus trop la peine de se fouler pour fabriquer une base orthonormée...)

[Charlo]

Bonsoir Ben.

Effectivement. En fait j'ai montré que si est un s.e.v. de muni d'une base orthogonale alors .

Mais concernant les je sais simplement qu'ils constituent une famille libre, donc je suppose que je ne peux pas établir que ?

Mais alors, que faire ?

:briques:

[Charlo]

Pas de réponse Ben ?

Quelqu'un d'autre ?

:cry:

[Ben314]

Salut,
Si on veut résumer les idées de la preuve, c'est que les fameux projecteurs P_?, pour qu'ils soient utiles, on ne les utilise que sur des familles orthonormés, c'est à dire avec ?=V_k et pas U_k.

Une fois que, pour un k donné, tu as trouvé une famille orthogonale telle que , tu cherche comment modifier le vecteur en un vecteur orthogonal à tout les autres .
On écrit donc (on retranche des et pas des car ils forment une famille orthogonale et donc se comportent bien mieux vis à vis du produit scalaire).
On détermine ensuite les coefficients de façon à ce que le vecteur soit orthogonal à tout les .

Fait le et tu tombera sur la formule que tu cherche...

[Charlo]

Ok, j'ai eu un peu peur de pas comprendre au début mais c'est parfait ! Merci ! :++:

Bonne soirée à toi ! :ptdr: