Projecteurs orthogonaux et diagonalisation

par **Azuriel** » 01 Déc 2007, 16:35

Bonjour, j'aimerais savoir comment montrer que si j'ai p et q 2 projecteurs orthogonaux quelconque alors poq est diagonalisable. On se place dans E ev euclidien.

Alors le cas où p et q commutent j'ai reussi a le faire, ça marche tres facilement mais dans l'autre cas je ne sais pas trop comment partir car dans tout mes raisonnements il y a un truc qui cloche lol.
Si vous avez des indications...
Merci d'avance !

par **yos** » 01 Déc 2007, 17:15

Bonjour.
La matrice de P dans une bo adaptée est diag(1,...,1,0,...,0).

par **Azuriel** » 01 Déc 2007, 17:19

Oui, et pareil pour q mais moi ce qui me gene c'est la composé poq..

Ou sinon il faudrait que je trouve une base "adapté" formé de vecteur de la forme q(ei) où ei serait donc mas base de diagonalisation..Mais je vois pas du tout comment faire.

par **yos** » 01 Déc 2007, 17:24

Ah non! ce serait dans une autre base. Ce que je veux dire, c'est que la matrice de poq est facile à calculer dans la base adaptée à p.

par **Azuriel** » 01 Déc 2007, 17:33

Oui mais en prenant une base adapté a P, vu que j'applique q avant alors la base n'est plus forcement adapté pour que la matrice soit diagonale donc comment faire ? Car il faudrait que je trouve une base (e1,....en) tel que (q(e1),...q(en)) soit une base adapté a P, mais cela n'est pas possible puisqu'un projecteur transforme pas une base en une base...Alors je sais pas comment faire. Tu pourrais pas me préciser un peu plus.

par **yos** » 01 Déc 2007, 20:17

Je crois bien que j'ai une faille dans mon truc. Le produit PQ des deux matrices dans une base adaptée à Q est la matrice de P dans laquelle les n-r dernières colonnes sont remplacées par des 0 (r étant le rang de q). Mais après...

J'ai eu un doute juste après t'avoir écrit ça car j'ai réalisé que je n'utilisais pas l'hypothèse "orthogonal"... Désolé!
Je vais regarder s'il n'y a pas un autre argument.

par **Azuriel** » 01 Déc 2007, 21:12

Merci de bien vouloir m'aider car j'aimerais vraiment savoir comment faire et ça fais quelque temps que je suis bloqué dessus.

par **yos** » 02 Déc 2007, 11:57

Je fais remonter. Quelqu'un aura peut-être une idée. Je pense que p*=p et q*=q doit servir à montrer que poq est "presque" normal (normal=commute avec son adjoint).

par **Azuriel** » 02 Déc 2007, 12:21

Les * signifie quoi ?

par **yos** » 02 Déc 2007, 14:27

*=adjoint (ou transposé dans le cas euclidien)

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