[MPSI] Produits en cascade

[Majaspique]

Bonjour, voici l'énoncé :

Énoncé :

Soient :










1. Calculer .
2. En déduire .
3. Exprimer en fonction de et .
4. Montrer, sans calcul, que .
5. En déduire puis .

Voici mes recherches, j'ai des doutes quant au résultat de la question 2, je ne sais pas trop traduire le signe

Recherches :

1. Calculons :











2. On en déduit :

[Ben314]

Salut,
Y'a des trucs corrects, mais y'a aussi des... horreurs horribles...

n'est clairement pas égal (du tout) à
,
(ni à aucune aucune autre factorielle d'ailleurs)

Et là :

Je vois pas vraiment comment tu obtient ta deuxième ligne en partant de la première. (écrit les deux produit dans le cas où n=3 "juste pour voir"...)

[Majaspique]

On a donc :

1. Calculons :










2. On en déduit :








Dans le deux je ne vois pas trop comment traduire le symbole différent sinon comme ça :

[chan79]

Salut
C'est la même chose ...

[Majaspique]

Effectivement, j'ai mal recopié l'énoncé, c'est plutôt :

[FLBP]

Salut,
Pour et , la multiplication est commutative même résultat

[Majaspique]

J'ai refais les calculs. Finalement, j'obtiens :

1. Calculons :











2. On en déduit :

C'est donc Vn auquel on retire la partie où j=i et i=j donc :








Mais je doute que ce soit juste, j'ai du mal à traduire le produit initial en un autre produit..

4. Montrons, sans calcul, que :
On peut effectuer des changements d'indice, d'où :
- d'une part :

On pose et donc :

- d'autre part :

On pose et donc :

Donc

Mais pareil, je doute que ce soit juste.
Le fait de dire qu'un produit est commutatif suffirait ?

5. On en déduit :


Et là je bug, si on écrit avec des ... on a :

On a n-i termes, mais je ne vois pas comment simplifier le produit.

[pascal16]

n!/(i-1)!