Produit vectoriel

[antoine3617]

Bonsoir,

Voici ce que je viens de montrer :
Pour tous points M, A, B, C appartenant à un espace affine euclidien de dimension 3,

* désignant le produit vectoriel
J'ai posé les coordonnées pour chaque point et j'ai calculé. C'est très très long car on est en dimension 3 !! Est-ce l'unique méthode ?
Merci par avance

[Doraki]

Le fait que la fonction s'avère être une constante suggère d'utiliser la relation de chasles pour simplifier la dépendance en M pour qu'elle puisse disparaître, comme ça :

MA*MB = MA*(MA+AB) = MA*MA + MA*AB = MA*AB,
MB*MC = (MA+AB)*(MA+AC) = MA*AC - MA*AB + AB*AC = MA*BC + AB*AC
MC*MA = (MA+AC)*MA = - MA*AC
Là, la dépendence en M n'apparaît plus que sous la forme "MA * truc ".

En sommant tout on obtient
MA*(AB + BC - AC) + AB*AC = MA*0 + AB*AC = AB*AC.

[XENSECP]

Je te le fais en 3 lignes :)
Comme j'ai pas encore la maitrise de LaTeX je vais pas tout copier ici (si le calcul t'intéresse contacte moi) mais en gros il faut juste utiliser Chasles ;)

[antoine3617]

oui, je comprends la démonstration mais je ne vois pas pourquoi on peut parler de fonction et en plus dire qu'elle est constante.

[Doraki]

Hmm c'est une expression qui est construite à partir de 4 points et qui rend un nombre réel, et, dont le résultat ne dépend pas du point M mais seulement des 3 autres points.

Si tu considères que A, B, et C sont 3 points fixés, l'expression devient alors une fonction qui prend un point M et rend un nombre réel.
Remarquer que le résultat ne fait finalement pas intervenir M dit que cette fonction est une fonction constante.

(Et puis, c'est une convention tacite que de noter A,B... les points jouant le rôle de constantes et M,N... les points à faire varier)

[antoine3617]

J'ai avancé dans la question suivante :
Soient A,B,C 3 points de E tels que A différent de C.
Déterminer l'ensemble E défini par :
E={M appartient à E tels que }

A l'aide de la question précédente, je trouve
, ce qui donne après simplifications,

Ma question est : Est-ce que je peux en déduire que ?
L'ensemble serait constitué d'un unique élément car A, B et C sont fixés.

[antoine3617]

Je viens seulement de voir le message précédent. Je comprends en effet l'idée ici de faire varier M et de fixer les 3 autres points. C'est bien clair dans ma tête !

[Doraki]

Non, mais tu peux en déduire que (3MA + AB) * AC = 0

[antoine3617]

ça donne donc (MB)//(AC)
Par suite, l'ensemble E est l'ensemble des points M appartenant à la droite passant par B et parallèle à la droite (AC)

[Doraki]

Ah parceque 3MA + AB ça fait 3MB
=/

[antoine3617]

belle étourderie en effet...
par contre, je ne vois pas quoi dire
soit je dis ça n'avance à rien.J'ai essayé de faire intervenir I le milieu de [AB]ensuite mais bon....

[Doraki]

Le milieu de AB, c'est bien tenté mais ça colle pas, en effet.
Un petit barycentre de A et B mieux placé, ptetre que ça ferait l'affaire.

[antoine3617]

avec G barycentre de ((A,2),(B,1))
donc (MG)//(AC) ce qui conclut !
l'ensemble cherché est une droite parallèle à (AC) passant par G