Produit de variables aléatoires

[Estormo]

Bonjour à tous !

J'ai un problème avec la notation d'un exercice :
Énoncé : "Soient A,B deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre p1,p2 respectivement (dans un univers probabilisé)
a) Reconnaître la loi des variables aléatoires A² et AB et préciser leur variance et leur espérance"

Mon problème est avec la notation A² et AB, je me suis dit dans un premier temps que A²(w)=A(w)*A(w)
et même chose pour AB(w)=A(w)*B(w) mais comme nous travaillons avec des lois de Bernoulli on aurait par exemple :
A²(succès)=A(succès)*A(succès)=1=A(succès)*B(succès)=AB(succès)
ce qui n'a pas beaucoup d'intérêt je trouve...

Alors j'ai considéré que A² et AB désignaient des lois conjointes et j'ai continué l'exercice comme cela ce qui est plus pertinent. Cependant je doute encore, j'ai peut être mal compris l'énoncé...

Merci d'avance !

[GaBuZoMeu]

La variable aléatoire prend la valeur 1 avec la probabilité et la valeur 0 avec la probabilité . Puisque et sont à valeurs dans , tu peux les élever au carré (ce qui ne change pas grand chose), les multiplier : tu auras toujours des variables aléatoires à valeurs dans , suivant une loi de Bernoulli.
Les opérations sur les variables aléatoires numériques sont les opératios sur les fonctions en général : pour tout ,

[Estormo]

Merci beaucoup ! Cela devrait grandement simplifier l'exercice.

[GaBuZoMeu]

Je suppose que le problème ne s'arrête pas à la question a), qui est très facile. Pourrais-tu donner au moins une idée de la suite ? Merci.

[Estormo]

b) Les variables A² et AB sont elles indépendantes ?

2) On fixe n≥2. Soient X1,...,Xn n variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi de Bernoulli (paramètre p)

Pour tout ω∈Ω, on pose ω) la matrice colonne de ces variables aléatoires et M(ω) la matrice produit de ω) et de sa transposée. Enfin on note T(ω) la trace de M(ω), R(ω) son rang et Z(ω) son nombre de zéro.

a) Calculer la probabilité de l'événement {la matrice M(ω) est inversible}
b) Déterminer la loi de T. Variance et espérance.
c) Même chose pour R
d) Calculer la probabilité de l'événement {la matrice M(ω) est égale à son carré}
e) Calculer la probabilité de l'événement {T(ω) est un entier pair}
f) Justifier que Z(Ω)={2nk-k², k∈[|0,n|]} puis que pour tout k∈[|0,n|], les événements
{Z=2nk-k²} et {T=n-k} sont égaux
Déduire l’espérance de Z.

[GaBuZoMeu]

Merci. Ça me semble surtout un exercice sur les matrices où est un vecteur colonne, avec un zeste de probas.