Une fois ta base B=(e1,e2,..,en) fixé, tu peut écrire la matrice
de n'importe quelle forme bilinéaire
dans la base B.
Ensuite, si tu es deux vecteurs
et
de E de coordonnées respectives
et
-vecteur colonnes) dans la base B alors tu vérifie facilement (en utilisant la bilinéarité) que
.
Cela prouve en particulier que la forme
est symétrique si et seulement si la matrice A est symétrique.
guillaume100 a écrit:. . .il suffit que A ait des coefficients positifs sur sa diagonale pour que cela fonctionne
Par contre, ça c'est faux : le fait que A ait ces coefficients diagonaux strictement positifs, tout ce que ça prouve, c'est que
pour tout
mais ça ne prouve pas que
pour tout vecteur
.
Par exemple, si
et que
alors
.
guillaume100 a écrit:Alors le produit scalaire est bien défini et il est unique parce s'il y en a deux c'est le même (on peut le montrer en calculant <x|y> et en le décomposant dans la base associée ?), y'a pas plus rapide pour montrer l'unicité ?
Non, il n'y a pas "plus rapide" et ça provient bien évidement du fait qu'il faut à un moment ou un autre que tu utilise le fait que B est une base pour conclure. Or "la" façon de traduire que B est une base, ben c'est évidement d'utiliser le fait que tout vecteur de E se décompose (de façon unique) comme combinaison linéaire d'éléments de E.
(En fait il y aurais bien une autre façon plus théorique en regardant une forme linéaire sur E comme une application linéaire de E dans son dual, mais ça nécessite pas mal plus de bagage) guillaume100 a écrit:Ben314: j'avais oublié que la base variait comme pour les matrices d'endomorphisme, est-ce que la matrice A en question c'est la matrice de Gram ?
Aucune idée : je sais que A c'est "
la matrice de la forme bilinéaire dans la base B" sauf que, vu que c'est la grande mode ces dernier temps, il y a peut-être un petit malin qui lui a donné au autre nom (propre) de façon à ce que ça fasse plus "charabia technique" auquel le profane ne peut bien sûr rien comprendre
(c'est un "plus" indiscutable à l'heure actuelle d'utiliser du jargon technique montrant clairement au profane qu'il ne risque pas de comprendre de quoi il retourne : moins c'est compréhensible, mieux c'est. . . ) guillaume100 a écrit:Dans quel cas les matrices de passage sont des transposées ?
Ca n'a pas la moindre sens comme question : une matrice absolument quelconque, c'est toujours une transposée, à savoir la transposée de sa propre transposée !!!
Et bien évidement les matrices de passage n’échappent pas à la règle générale.