Produit scalaire

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guillaume100
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Produit scalaire

par guillaume100 » 16 Jan 2019, 22:55

Bonjour,

Il y a une propriété qui dit qu'à tout produit scalaire on peut associer une matrice symétrique unique. J'ai essayé de la démontrer en considérant la "forme vecteurs" de x et y mais sans succès. Je vois pas comment introduire cette matrice symétrique. Vous auriez des indices ?



LB2
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Re: Produit scalaire

par LB2 » 17 Jan 2019, 01:30

Bonjour,

très grossièrement, <X|Y>=tXAY avec A matrice symétrique
Si tu prend X=ei et Y=ej, tu as <ei|ej>=Aij

donc si tu connais le produit scalaire, tu connais la matrice A.

Petite question en exercice. Réciproquement, si A est symétrique, est-ce que la formule <ei|ej>=Aij définit un produit scalaire sur ExE?

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Ben314
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Re: Produit scalaire

par Ben314 » 17 Jan 2019, 07:36

Salut,
guillaume100 a écrit:Il y a une propriété qui dit qu'à tout produit scalaire on peut associer une matrice symétrique unique.
Non, c'est pas ça du tout : il faudrait apprendre à lire (et à comprendre ce qu'on lit...).
Ce que dit la "propriété" en question, c'est qu'une fois une base B={e1,e2,...en} de E fixée on peut associer à tout produit scalaire sur ExE la matrice (symétrique) composée des différents produits scalaires <ei|ej> qui est appelée "matrice du produit scalaire dans la base B".
Mais, exactement comme pour les applications linéaires, cette matrice n'est absolument pas unique et dépend de la base choisie. Par exemple, (et par définition) une base B est orthonormée (pour le produit scalaire en question), si et seulement si, la matrice du produit scalaire dans cette base, c'est la matrice identité.
Et exactement comme pour les applications linéaires, il va y avoir des "formules de changement de base" pour voir comment s'exprime un produit scalaire dans une base quelconque (i.e. pas forcément orthonormée).
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guillaume100
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Re: Produit scalaire

par guillaume100 » 17 Jan 2019, 14:52

Merci beaucoup LB2 et Ben314 j'ai capté,

LB2: Si A est symétrique on sait juste que <ei|ej>=<ej|ei> et que <x|y> est une application billinéaire (cela découle du produit matriciel en décomposant X sur la base (e1,e2,..,en), mais ce n'est pas défini positif car <x|x>=tX*A*X=Aij, il suffit que A ait des coefficients positifs sur sa diagonale pour que cela fonctionne,

Alors le produit scalaire est bien défini et il est unique parce s'il y en a deux c'est le même (on peut le montrer en calculant <x|y> et en le décomposant dans la base associée ?), y'a pas plus rapide pour montrer l'unicité ?

Ben314: j'avais oublié que la base variait comme pour les matrices d'endomorphisme, est-ce que la matrice A en question c'est la matrice de Gram ?

Dans quel cas les matrices de passage sont des transposées ?

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Ben314
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Re: Produit scalaire

par Ben314 » 18 Jan 2019, 06:31

Une fois ta base B=(e1,e2,..,en) fixé, tu peut écrire la matrice de n'importe quelle forme bilinéaire dans la base B.
Ensuite, si tu es deux vecteurs et de E de coordonnées respectives et -vecteur colonnes) dans la base B alors tu vérifie facilement (en utilisant la bilinéarité) que .
Cela prouve en particulier que la forme est symétrique si et seulement si la matrice A est symétrique.
guillaume100 a écrit:. . .il suffit que A ait des coefficients positifs sur sa diagonale pour que cela fonctionne
Par contre, ça c'est faux : le fait que A ait ces coefficients diagonaux strictement positifs, tout ce que ça prouve, c'est que pour tout mais ça ne prouve pas que pour tout vecteur .
Par exemple, si et que alors .

guillaume100 a écrit:Alors le produit scalaire est bien défini et il est unique parce s'il y en a deux c'est le même (on peut le montrer en calculant <x|y> et en le décomposant dans la base associée ?), y'a pas plus rapide pour montrer l'unicité ?
Non, il n'y a pas "plus rapide" et ça provient bien évidement du fait qu'il faut à un moment ou un autre que tu utilise le fait que B est une base pour conclure. Or "la" façon de traduire que B est une base, ben c'est évidement d'utiliser le fait que tout vecteur de E se décompose (de façon unique) comme combinaison linéaire d'éléments de E. (En fait il y aurais bien une autre façon plus théorique en regardant une forme linéaire sur E comme une application linéaire de E dans son dual, mais ça nécessite pas mal plus de bagage)

guillaume100 a écrit:Ben314: j'avais oublié que la base variait comme pour les matrices d'endomorphisme, est-ce que la matrice A en question c'est la matrice de Gram ?
Aucune idée : je sais que A c'est "la matrice de la forme bilinéaire dans la base B" sauf que, vu que c'est la grande mode ces dernier temps, il y a peut-être un petit malin qui lui a donné au autre nom (propre) de façon à ce que ça fasse plus "charabia technique" auquel le profane ne peut bien sûr rien comprendre (c'est un "plus" indiscutable à l'heure actuelle d'utiliser du jargon technique montrant clairement au profane qu'il ne risque pas de comprendre de quoi il retourne : moins c'est compréhensible, mieux c'est. . . )

guillaume100 a écrit:Dans quel cas les matrices de passage sont des transposées ?
Ca n'a pas la moindre sens comme question : une matrice absolument quelconque, c'est toujours une transposée, à savoir la transposée de sa propre transposée !!!
Et bien évidement les matrices de passage n’échappent pas à la règle générale.
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guillaume100
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Re: Produit scalaire

par guillaume100 » 18 Jan 2019, 17:59

Ah ouais j'ai compris merci @Ben314

-En fait une matrice inversible a pour inverse sa transposée que quand c'est une matrice représentant un endomorphisme orthogonal dans une base B quelconque ? C'est du à quoi ?

-On a vu ce que c'est le dual de E du coup je pense que j'ai les bagages pour la méthode plus rapide, je suis chaud pour avoir une piste pour celle-ci

Merci bien !

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Ben314
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Re: Produit scalaire

par Ben314 » 18 Jan 2019, 19:18

guillaume100 a écrit:-En fait une matrice inversible a pour inverse sa transposée que quand c'est une matrice représentant un endomorphisme orthogonal dans une base B quelconque ? C'est du à quoi ?
Non, c'est une fois de plus complètement faux : ça ne marche que si la base dans laquelle on a écrit l'endomorphisme est une base orthonormée.
Et ça provient on ne peut plus bêtement du fait que la règle "ligne par colonne" du produit matriciel te dit que, si une matrice M est formée des vecteurs colonnes alors quand on fait le produit ça signifie qu'on calcule les différents produits .
Et, si ces vecteurs colonnes correspondent aux coordonnées dans une base orthonormée de vecteurs , ben ça signifie que la matrice elle est composée des différents produits scalaires donc elle vaut ssi la famille est une base orthonormée c'est à dire ssi l'endomorphisme de matrice dans la base orthonormée envoie la b.o.n. sur la b.o.n.

guillaume100 a écrit:-On a vu ce que c'est le dual de E du coup je pense que j'ai les bagages pour la méthode plus rapide, je suis chaud pour avoir une piste pour celle-ci
Ben dans ce cas, c'est con comme la lune : Une forme bi-liéaire (pas forcément symétrique) , c'est exactement la même chose qu'une application linéaire de dans le dual de à savoir l'application qui à tout associe la forme linéaire telle que .
Et si tu te donne une base de alors il lui est canoniquement associée une base du dual et ce qu'on appelle "la matrice de l'application bilinéaire dans la base ", ben c'est évidement la matrice de l'application linéaire dans la base de (au départ) et la base de (à l'arrivée).
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Re: Produit scalaire

par guillaume100 » 19 Jan 2019, 23:22

Merci Ben314,

J’ai capté. La matrice de la forme bilinéaire dans la base B c’est l’application linéaire de la base B de E dans la base B* canoniquement associée de E*,
ça permet d’aller plus vite car si on a une matrice symétrique, alors c’est La matrice de la forme bilinéaire dans une base B associée, et par conséquent c’est aussi la matrice de l’application Linéaire de phi qui va de la base B dans la base B* canoniquement associée.

Mais la ce qui manque pour prouver l’unicite De la forme bilinéaire associée à cette matrice, c’est une bijection entre les formes bilinéaires et l’ensemble de ces applications phi non ? Alors il est aisé de voir qu’a chaque forme bilinéaire il est associé une application phi, mais est elle unique ? Je suis sur c’est grave simple

Merci bien !

LB2
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Re: Produit scalaire

par LB2 » 21 Jan 2019, 01:52


 

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