Produit scalaire

[myboo45]

Bonjour a tous, j'ai un devoir à rendre. Donc je vous écrit l'énoncé puis j'écris ce que j'ai fait. Si quelqu'un peut m'aider pour les questions que je n'ai pas réussi et me corriger si j'ai fait des fautes. Merci beaucoup.

Probleme:
soient n un entier naturel >2 et E appartenant à Mn(R), muni du produit scalaire défini par:
ps: produit scalaire
ps(m,n)= Tr(^tMN) trace((transposé de m) * n)
pour tous M et N dans E.
On considère Sn(R) espace vectoriel des matrices symétriques de E et An(R) espace vectoriel des matrices antisymétriques de E.

1- On considère l'application S:m->^tM (transposé de M) de E dans E.
a) Montrer que S est un endomorphisme autoadjoint de E
b) Montrer que S est involutive
c) Déterminer les sous-espaces propres de S
d) En déduire l'orthogonal dans E de sn(R)

2- On dit que M appartenant à E est normale si ^tM*M=m*^tM
transposé de M* M =M*transposé de M

a) Montrer que toute matrice M appartenant à E se décompose de manière unique en :
M =H +A avec H appartenant à Sn(R) et An(R)
b) Montrer que M est normale si et seulement si H et A commutent
c) Si M est normale, donner la décomposition de M² en fonction de H et A

3-On suppose que (*) M est normale et M²=-In (moins l'identité)
a) Montrer que AH=0
b) En raisonnant par l'absurde, montrer que H n'admet pas de valeur propre non nulle.
c) En déduire M antisymétrique
4-a) Pour n=2 déterminer toutes les matrices M satisfaisant aux conditions(*)
b) Pour n=3, déterminer toutes les matrices M satisfaisant aux conditions(*)






Mes réponses:
1- a) ps(S*(M),N)=ps(M,S(N)) d'ou par définition ps(S*(M),N)=ps(S(M),N)
et donc s*=S S est autoadjoint.
b) Pour tout M de E on a S(S(M))=S(^tM)=^t(S(M))=^t(^t(M))=M
On a S²=Id d'ou S involutive.
c) je trouve Sp={-1,1} donc les sous espaces propres sont ker(S-Id) et ker(S+Id)
d) on doit trouver Tr(^tM * N) =0 je pense mais je ne comprends pas trop la question.

2- 3- je n'y arrive pas

4- pour n=2 on a les matrices M= 0 a où a= 1 ou -1

il faut que je résoude pour n=3

merci de m'aider à résoudre mon problème.

[zorg]

2) a)

On vérifie facilement que est syémtrique et que est antisymétrique.

2)b) Exprime le fait que M est normal en utilisant M=H+A et tenant compte du fait que et

2)c) car A et H commutent.
On vérifie facilement que et sont symétriques et que est antysymétrique.

3)a)On utilise la question précédnete. Vu que la décomposition est unique, AH=0.

3)b)Supposons par l'absurde que avec non nul. Alors d'après la question précédente, donc donc vu que non nul.

De plus Or
donc donc donc Contradiction

3)c)H est une matrice symétrique réelle donc elle est diagonalisable ie avec D la diagonale de valeur propre. Comme elle n'admet que la valeur propre nulle, D=0 donc H=0. Donc M=A donc M est antisymétrique.

[zorg]

Pour le 1d) S est autoadjoint donc ses sous-espaces propres sont orthogonaux (résultat du cours) donc est orthogonal à . Or les matrices symétriques et les matrices antisymétriques !

Donc l'orthogonal de S_n(R) est A_n(R).

D'ailleurs, on peut le démontrer directement. On prend une matrice symétrique, une matrice antisymétrique, on calcule le produit scalaire et ça fait 0.