Produit scalaire sur un espace vectoriel

[Eraor]

Bonjour je bloque à un exercice et j'aurais besoin d'un coup de pouce, voici l'énoncé :
Soit n appartenant à N, n\geq 2. On se place dans E = Matrices carrées d'ordre n dans R. On pose I=In.
\varphi : ExE -> R
(A,B) -> <A|B> = tr(tAB)
Je ne sais pas comment bien le faire mais : <A|B> (A scalaire B) = trace(transposée(A)xB), j’espère que c'est clair...

1) J'ai dû montrer que c'était un produit scalaire sur E, sans problème et j'ai dû calculer <M|I> et j'ai trouvé que cela valait la tr(M).

2) On désigne par J la matrice de E dont tous les coefficients sont égaux à 1. On pose F=Vect(I,J).
a) Calculer J² en fonction de J. En déduire <J|J>. J'ai trouvé que J² = nJ et donc que <J|J> = n²

Voilà ou je coince :
b) On note Pf(M) le projeté orthogonal sur F d'une matrice M de E. En remarquant que <M|J> = <Pf(M)|J>, exprimer Pf(M) comme combinaison linéaire de I et J en fonction de tr(M) et du réel \mu = <M|J>.
Je n'ai aucune idée de comment faire... Quelqu'un sait ?

Et enfin la derniere question est :
c) Calculer \mu en fonction des coefficients de M

Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Pose a priori , et ensuite tire les conséquences du fait que et (tu as déjà calculé , et ).

[Eraor]

J'ai essayé mais je n'y arrive vraiment pas... As tu un autre conseil ?

[GaBuZoMeu]

Un autre conseil ? Oui : persévérer !
tu sais quoi.
, c'est l'énoncé qui pose ça.



Rappel : est caractérisé par 1°) et 2° pour tout .

[Eraor]

<Pf(M)|A> \neq <M|A>. Enfin on ne sait pas parce qu'on dit juste que cette égalité est vraie avec J qui est une matrice remplie de 1.
Sinon je trouve que :
<Pf(M)|J> = \alpha n + \beta n²
<Pf(M)|I> = \alpha n + \beta n

Mais je ne vois pas où cela mène... Système ?

[GaBuZoMeu]

Tu devrais revoir tes notions sur la projection orthogonale.

Par définition de la projection orthogonale sur le sous-espace , est orthogonal à . D'accord ? Je te laisse vérifier que ça veut bien dire que pour tout , .

Enfin, à quoi cela mène ? À répondre à la question posée, qui est, je te le rappelle : "exprimer comme combinaison linéaire de et en fonction de et du réel ". Autrement dit, déterminer et .