Produit scalaire niveau 2eme année 1er semestre

[cauchy54]

On considère l'espace euclidien E des polynômes à coefficients réels muni du produit scalaire:
= integrale de 1 à 0 P(t)Q(t)dt

Pour tout n entier , on note En le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n et PI n la projection orthogonale de E sur En.

On définit la famille de polynômes (Pn )n entier N par: Po = 1 et pourtout N*, Pn = X^n - PI(n-1) (X^n).

1. (a) Montrer que pour tout n Entier, Pn est un polynôme unitaire de degré n.
(b) Montrer que pour tout entier n >= 1, Pn appartient E orthogonal n-1
(c) Montrer que pour tous entiers n et k distincts, on a: = O.
(d) Montrer que pour tout n entier, (P0, ... ,Pn) est une base orthogonale de En.
2. (a) Montrer que pour tout entier n >=2, Pn - XPn-1 est combinaison linéaire de Pn-1 et Pn-2.
(b) Montrer que pour tout entier n>= 1, ||Pn||^2=


pouvez vous m aider ou me donner quelque conseille je suis fin nul sur ce chapitre

[serge75]

1a : par définition Pi_(n-1)(X^n) est de degré au plus n-1 car dans E_(n-1).
Donc P_n est somme de X^n et d'un polynôme de degré au plus n-1, ce qui doit suffir à ton bonheur.
1.b : reprend la définition d'une projection sur F suivant G (le projeté p(x) de x est sur F et x-p(x) est sur G). Ici G ext l'orthogonale de F et F est E_(n-1)... on doit pas être loin de la terre promise.
1.c : Si n est distinct de p alors soit n>P, soit p>n ; itilise alors le 1.b.
1.d : tu viens de prouver l'orthogonalité n'est-ce pas ? et on a ici une suite étagée de polynômes...
PS : tu viens de réaliser une orthogonalisation de Schmidt.
Suite plus tard, quand tu auras déjà décrypté ceci.
Serge

[fahr451]

ou" plus exactement " de Gram Schmidt :)

[serge75]

petit sodomiseur de dyptères ! :we:
Mais tu as raison, c'est effectivement l'usage en cours

[fahr451]

tu m'as montré la voie si je puis dire

[serge75]

Rires.... Je pense à un pastiche de Raffarinade à employer, mais je vais m'abstenir, tant le HS se profile.
Bon Fahr 1 partout ! :happy2:

[cauchy54]

vous pouvez m expliquer un peu la suite...(j ai compris a moitié le debut)

[serge75]

Pour l'instant, je crois qu'il vaut mieux que tu comprennes bien le début et les raisonnements de projection avant d'aborder la suite.