2 Problemes Trigo

[DELPHINE42]

Bonjour !
Encore des soucis de trigonométrie....

1- Résoudre l'équation tg 2x + cotg x = 8 cos² x
Pour ce pbe, j'ai utilisé tg 2x = sin 2x / cos 2x et cotg x = cos x / sin x
mais je n'arrive à rien de concret pourtant il me semble que c'est une
bonne piste.

2- Démontrer que si les angles d'un triangle ABC satisfont à la relation:
2 tg A = tg B + tg C
ils vérifient également les relations suivantes :

a- tg B tgC = 3
b- cos (B-C) = 2 cos A

Pour celui là, je pars de la transformation de la somme tg B + tg C en produit, mais idem, je n'arrive pas au bout.

Merci beaucoup

[fonfon]

Salut,

2- Démontrer que si les angles d'un triangle ABC satisfont à la relation:
2 tg A = tg B + tg C
ils vérifient également les relations suivantes :

a- tg B tgC = 3
b- cos (B-C) = 2 cos A

je fais déjà le a.

on sait que
donc

et tgA=tg[pi-(B+C)}=-tg(B+C), mais

-tg(B+C)=-(tgB+tgC)/(1-tgBtgC)

donc tgA=-(tgB+tgC)/(1-tgBtgC)

en portant cette valeur de tgA ds la relation donnée,il vient:

-2(tgB+tgC)/(1-tgBtgC)=tgB+tgC

-2(tgB+tgC)=(tgB+tgC)(1-tgBtgC)

-3(tgB+tgC)=-tgBtgC(tgB+tgC)

en simplifiant par tgB+tgC on a bien tgBtgC=3

je regarde le suivant

[fonfon]

Re,

on a : tgB+tgC=sin(B+C)/(cosBcosC)

mais sin(B+C)=sin(pi-A)=sinA; donc tgB+tgC=sinA/(cosBcosC)

la relation donnée s'ecrit alors en remarquant que: tgA=sinA/cosA on a:

2sinA/cosA=sinA/(cosBcosC)
<=>
2sinAcosBcosC=cosAsinA
<=>
cosA=2cosBcosC

mais 2cosBcosC=cos(B+C)+cos(B-C)
<=>
2cosBcosC=-cosA+cos(B-C)

et donc
cosA=-cosA+cos(B-C) soit cos(B-C)=2cosA CQFD

A+

[fonfon]

pour le 1er tu as trouver quelque chose de concret ou tu bloques completement?

[DELPHINE42]

Quelle lumière !! Merci bp

[DELPHINE42]

Pour le premier j'en suis resté au remplacement de tg 2x et cotg x, après ...

[alben]

Bonjour,

Ce qui semble le plus naturel pour le premier, c'est de poser t=tg(x) car cos² et cotg deviennent 1/(1+t²) et 1/t.
Mais ton équation développée est du 4ième degre !
Il y a d'ailleurs bien 4 solutions.

[fonfon]

Re,

1- Résoudre l'équation tg 2x + cotg x = 8 cos² x

tg2x=sin2x/cos2x et cotgx=cosx/sinx

l'équation devient alors: sin2x/cos2x+cosx/sinx=8cos²x,on reduit au même denominateur on obtient:

(sin2xsinx+cos2xcosx)/(cos2xsinx)=8cos²x

sin2xsinx+cos2xcosx=8cos²xcos2xsinx

on remarque que sin2xsinx+cos2xcosx est de la forme

cosacosb+sinasinb=cos(a-b) avec a=2x et b=x donc

sin2xsinx+cos2xcosx=cosx

je transforme le 2nd membre pour faire apparaître sin2x donc
8cos²xcos2xsinx=4cosx(2cosxsinx)cos2x=4cosxsin2xcos2x

en remarquant que 2sin2xcos2x=sin4x on a que:
8cos²xcos2xsinx=2cosxsin4x

d'où l'equation cosx=2cosxsin4x

soit à resoudre cosx(2sin4x-1)=0

je pense que tu peux la resoudre

A+

[DELPHINE42]

Merci à tous, super coup de pouce !

[fonfon]

Y-a pas de quoi

A+ :++: