Problèmes menant à des équations différentielles

par **Armulis** » 13 Oct 2010, 07:53

Bonjour,

Je vis en Suisse et j'y suis des études en génie mécanique, et le niveau demandé en maths est assez haut je dois dire...
J'étais généralement bon en maths, jusqu'au début de l'année passée, où les problèmes ont commencé à venir avec la complexité des matrices, des différentielles, etc... Tous ces concepts ne me sont pas encore tout à fait assimilés à 100% et je cherche quelqu'un qui puisse m'aider en ce qui concerne les problèmes liés aux équations différentielles:

En général, un problème consiste à lire une donnée "en français" et à la retranscrire "en mathématiques".
Pour ce qui est de l'algèbre classique (niveau BAC chez vous, je crois) c'est encore facile à mon goût, mais depuis peu, nous faisons la même chose avec des équations différentielles.
En principe j'arrive à les résoudre (après tout c'est une méthode simple), mais pour ce qui est de poser une E.D, j'en suis encore incapable.

- Quand on lit la donnée d'un problème, qu'est-ce qui indique qu'il s'agit d'une E.D et pas d'un truc tout con comme d'habitude?
- Quelles sont les techniques qu'on peut appliquer pour poser la bonne E.D? (Par exemple, essayer d'utiliser un modèle algébrique en général, etc...)

(Je peux vous écrire la donnée d'un problème en particulier si nécessaire)

Je remercie d'avance les personnes sympathiques (et suicidaires ^^) qui accepteront de me porter secours =D

par **mathelot** » 13 Oct 2010, 08:39

Bonjour,

j'essaye de répondre bien que le risque d'écrire des bêtises n'est pas négligeable.

i) il y a des équations différentielles (comme pour les exponentielles)
où ce qui caractérise les solutions est leur croissance ou décroissance rapide

ii) il y a des équa diffs où ce qui caractèrise les solutions est le fait qu'elles
"explosent" en temps fini , comme celles que vérifient une arctangente ou arcsinus

iii) il y a des équations différentielles où les solutions sont périodiques. la théorie de Fourier
indique, grosso modo, que l'on va rester alors dans un espace (un Hilbert ?)
engendré par des sinus et cosinus . Il est possible que cette contrainte se reflète
dans l'aspect périodique des dérivées

par exemple

ce qui peut répondre le mieux à ta question est de classifier , dès lors,
les équations différentielles du point de vue des systèmes dynamiques...

par **Armulis** » 13 Oct 2010, 09:03

Merci pour ta réponse, c'est sympa!
...mais =D

Je veux bien considérer les E.D comme des systèmes dynamiques, mais c'est un truc qu'on m'a déjà dit... sauf que parfois je peux résoudre des systèmes dynamiques avec plein de trucs qui changent avec le temps, tout ça sans E.D... mais passons!

Prenons on exemple!
"Une citerne contient 20kg de sel dissout dans 5000 litres d'eau. De la saumure (eau + sel) contenant 0.03 kg de sel par litre y est déversée à raison de 25 litre/minute. La solution est continuellement remuée (donc homogène) et sort de la citerne au même débit. Combien y a-t-il de sel dans la citerne après une demie heure?"

Voilà un truc que deux profs déjà ont échoué à m'expliquer... Enfin disons qu'ils posaient une E.D que je pouvais résoudre, mais pour choisir cette voie, ils se basaient surtout sur le fait qu'en haut de la feuille, c'était écrit "Equations différentielles". Personnellement, je trouve qu'une justification pareille (même au vu du résultat "qui est juste") mériterait une paire de claques, parce que c'est pas des maths... mais enfin!
(Si jamais, la réponse est Q(t) = 38,1kg)

Si tu arrives m'expliquer clairement comment tu fais, pas à pas, pour poser une E.D, je suis preneur =D (La résolution je m'en fiche, j'y arrive, alors perdons pas de temps pour ça!)

Merci!

par **Doraki** » 13 Oct 2010, 09:48

Appelle sel1(t) et eau1(t) la quantité de sel (en kg) et d'eau (en L) introduite en fonction du temps (en minutes),
sel2(t), eau2(t) la quantité de sel et d'eau qui sont partis en fonction du temps.
sel3(t), eau3(t) la quantité de sel et d'eau qui sont dans le récipient en fonction du temps.

Pour l'instant on a pas dit "équation différentielle".

Comment tu traduis mathématiquement que :
- ce qui est dans le récipient est ce qui est introduit - ce qui est parti
- "De la saumure (eau + sel) contenant 0.03 kg de sel par litre y est déversée à raison de 25 litre/minute."
- "La solution sort de la citerne au même débit."
- "La solution est homogène"

par **Armulis** » 13 Oct 2010, 14:23

Alors je dirais qu'au temps "t", le titre de la solution sortante est égal à celui du contenu du récipient, donc:

{équation 1}
sel2(t) / eau2(t) = sel3(t) / eau3(t)

Mais il faut encore déterminer "sel3(t)", soit la quantité de sel dans le récipient.

On a:
"Sel entré" [kg] = sel1(t) x eau1(t)
"Sel sorti" [kg] = - sel2(t) x eau2(t)
"Sel contenu (juste avant)" [kg] = "sel contenu" - "quasiment rien" = "sel contenu" = sel3(t)

Donc:
{équation 2}
sel3(t) = sel1(t) x eau1(t) / eau3(t) - sel2(t) x eau2(t) / eau3(t) + sel3(t) / eau3(t)

Si on mélange {équation 1} et {équation 2}, on obtient:

{équation 3}
sel2(t) / eau2(t) = sel1(t) x eau1(t) / eau3(t)^2 -sel2(t) x eau2(t) / eau3(t)^2 + sel3(t) / eau3(t)^2

Si c'est juste, en quoi est-ce que c'est une équation différentielle?
En plus c'est faux parce que j'arrive pas à résoudre l'équation: je tourne en rond parce que j'ai une équation à deux inconnues: sel2(t) et sel3(t)... =S

par **Doraki** » 13 Oct 2010, 14:28

Armulis a écrit:On a:
"Sel entré" [kg] = sel1(t) x eau1(t)
"Sel sorti" [kg] = - sel2(t) x eau2(t)
"Sel contenu (juste avant)" [kg] = "sel contenu" - "quasiment rien" = "sel contenu" = sel3(t)

Je comprends pas ce que tu écris.

le sel entré en kg c'est sel1(t), pourquoi tu dis que sel1(t) = sel1(t) * eau1(t) ? Des kgs multipliés par des litres ? ça ne représente rien de concret !

sel2(t) / eau2(t) = sel3(t) / eau3(t)

Ceci est faux parceque sel3(t)/eau3(t) n'est pas la densité de ce qui sort de la citerne à l'instant t.

par **Armulis** » 14 Oct 2010, 15:13

Je m'en doutais =)

Alors quoi?

par **Doraki** » 14 Oct 2010, 17:44

Normalement tu dois voir que c'est dur de dire mathématiquement que l'eau qui sort au temps t a la même densité de sel que ce qu'il y a à l'intérieur de la citerne au temps t.
Donc tu peux pas calculer simplement la quantité de sel qui sort de la citerne.

Maintenant imagine que au lieu de laisser couler en continu, toutes les minutes, tu rajoutes 25L de saumure, tu mélanges, puis tu enlèves 25L de la citerne.
Tu saurais calculer, minute par minute, combien il y a de sel dans la citerne ?

par **Armulis** » 19 Oct 2010, 09:21

Excuse-moi pour le retard, je viens de reprendre l'école...
Je vais demander à un prof parce que que j'y arrive pas du tout pour l'instant =)

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