Re problèmes d'algebre, applications entre ensembles

[Yozamu]

Bonjour à tous.

Dejà merci pour l'aide concernant le premier exercice.
Je vais reposter l'énoncé des trois premiers exercices en guise de rappel, car j'ai besoin d'une confirmation(ou d'une correction) concernant mon premier exo(je suis pas sur de certains résultats) et j'ai besoin d'aide pour les deux suivants parce que je n'ai pas de pistes de recherche. Voici les exos:

Exo1:
Soit l'application f(de R dans R) x->(x+2)²-3
1) Donner la représentation graphique de f et justifier que f n'est ni injective ni surjective
(a priori je connais les deux définitions meme si je ne sais pas comment les utiliser ici... Injective=1 antécédent au maximum et surjective=au moins 1 antécédent je crois?)
2)A partir de la représentation graphique, décrire les ensembles suivants (c'est là surtout que je vois vraiment pas ce qui est attendu):
f([-1,0]) f(]-3,0]) f^-1({1]) f^-1({-4}) f^-1([-2,0[)
(pour cette question, j'aimerais bien l'aide sur un intervalle et sur un singleton, ensuite je suppose que pour les autres la meme methode sera attendu, donc je pourrai essayer)
3) Définir deux parties A et B de R, aussi grandes que possibles(au sens de l'inclusion) afin que l'application f|A: A->B soit bijective (dans le f|A, |A est en indice, je sais meme pas ce que c'est)

Exo2:
Soit une application f:E->F où E={1,2,3} et F={a,b,c}
1) Définir f de telle sorte que f(f^-1(B))=/B (différent de)
2) Définir et représneter graphiquement g de telle sorte que f^-1(f({1,2}))=/{1,2}

Exo3:
Soit une application f:E->F et B, une partie de F. Montrer que f(f^-1(B))=f(E)nB (inter)


Donc pour l'exo 2 et 3, il me faudrait des pistes de recherche, et pour l'exo 1, voilà les résultats que je trouve(d'ailleurs, si c'est juste, j'aimerais savoir si la notation l'est aussi):
1) Elle n'est pas injective car, par exemple, 0 a deux antécédents. De plus, elle n'est pas surjective car -4 n'a pas d'antécédent.
2) f([-1;0])=[-2;1]
f(]-3;0])=]-2;1]
f^-1({1})={0}
f^-1({-4})= [Ensemble vide] (j'ai mis la notation du o barré)
f^-1([-2;0[)=[-3;-2-sqrt(3)[u[-1;-2+sqrt(3)[
Par contre pour la dernière je suis vraiment pas sur du tout je saurais même pas vraiment expliqué comment j'ai fait.
3) Là gros soucis pour la notation, et j'ai toujours pas compris l'utilité du |A. Mais je trouve ceci:
A=[-2;+inf[ et B=[-3;+inf[
f|A : A -> B est donc bijective quand on a:
f|[-2;+inf[ : [-2;+inf[ -> [-3;+inf[

Merci d'avance

EDIT: Ah et concernant l'exo 4, il me semble que la seule piste dont je dispose, c'est que f ne doit pas être bijective, mais je ne sais pas quoi dire de plus dans la question 1...

[Manny06]

Bonjour à tous.

Dejà merci pour l'aide concernant le premier exercice.
Je vais reposter l'énoncé des trois premiers exercices en guise de rappel, car j'ai besoin d'une confirmation(ou d'une correction) concernant mon premier exo(je suis pas sur de certains résultats) et j'ai besoin d'aide pour les deux suivants parce que je n'ai pas de pistes de recherche. Voici les exos:

Exo1:
Soit l'application f(de R dans R) x->(x+2)²-3
1) Donner la représentation graphique de f et justifier que f n'est ni injective ni surjective
(a priori je connais les deux définitions meme si je ne sais pas comment les utiliser ici... Injective=1 antécédent au maximum et surjective=au moins 1 antécédent je crois?)
2)A partir de la représentation graphique, décrire les ensembles suivants (c'est là surtout que je vois vraiment pas ce qui est attendu):
f([-1,0]) f(]-3,0]) f^-1({1]) f^-1({-4}) f^-1([-2,0[)
(pour cette question, j'aimerais bien l'aide sur un intervalle et sur un singleton, ensuite je suppose que pour les autres la meme methode sera attendu, donc je pourrai essayer)
3) Définir deux parties A et B de R, aussi grandes que possibles(au sens de l'inclusion) afin que l'application f|A: A->B soit bijective (dans le f|A, |A est en indice, je sais meme pas ce que c'est)

Exo2:
Soit une application f:E->F où E={1,2,3} et F={a,b,c}
1) Définir f de telle sorte que f(f^-1(B))=/B (différent de)
2) Définir et représneter graphiquement g de telle sorte que f^-1(f({1,2}))=/{1,2}

Exo3:
Soit une application f:E->F et B, une partie de F. Montrer que f(f^-1(B))=f(E)nB (inter)


Donc pour l'exo 2 et 3, il me faudrait des pistes de recherche, et pour l'exo 1, voilà les résultats que je trouve(d'ailleurs, si c'est juste, j'aimerais savoir si la notation l'est aussi):
1) Elle n'est pas injective car, par exemple, 0 a deux antécédents. De plus, elle n'est pas surjective car -4 n'a pas d'antécédent.
2) f([-1;0])=[-2;1]
f(]-3;0])=]-2;1]
f^-1({1})={0}
f^-1({-4})= [Ensemble vide] (j'ai mis la notation du o barré)
f^-1([-2;0[)=[-3;-2-sqrt(3)[u[-1;-2+sqrt(3)[
Par contre pour la dernière je suis vraiment pas sur du tout je saurais même pas vraiment expliqué comment j'ai fait.
3) Là gros soucis pour la notation, et j'ai toujours pas compris l'utilité du |A. Mais je trouve ceci:
A=[-2;+inf[ et B=[-3;+inf[
f|A : A -> B est donc bijective quand on a:
f|[-2;+inf[ : [-2;+inf[ -> [-3;+inf[

Merci d'avance

EDIT: Ah et concernant l'exo 4, il me semble que la seule piste dont je dispose, c'est que f ne doit pas être bijective, mais je ne sais pas quoi dire de plus dans la question 1...

pour le premier fais l'étude de la fonction et trace la parabole
tu constates que la fonction a pour minimum -3 pour x=-2
correct pour non injective et non surjective
l'image de ]-3;0] est fausse (attention f n'est pas monotone sur l'intervalle)
pour f^-1 ({1}) tu as oublié une solution (tu dois chercher les x tels que f(x)=1)

[Yozamu]

Merci de la réponse.

Mon f^-1([-2;0[) serait donc juste?

Concernant f^-1({1}), la solution que j'ai oublié est -4 n'est ce pas ?

Puis concernant l'image de ]-3;0], je n'avais encore jamais fait ça, donc je ne sais pas ce qui change dans la solution quand la fonction n'est pas monotone sur l'intervalle?

[Manny06]

Merci de la réponse.

Mon f^-1([-2;0[) serait donc juste?

Concernant f^-1({1}), la solution que j'ai oublié est -4 n'est ce pas ?

Puis concernant l'image de ]-3;0], je n'avais encore jamais fait ça, donc je ne sais pas ce qui change dans la solution quand la fonction n'est pas monotone sur l'intervalle?

Regarde ton tableau de variations
pour -3<x<-2 -3<f(x)<-2
pour -2<=x<=0 -3<=f(x)<=1
donc l'image est [-3;1]

[Yozamu]

Tu parles de quoi? De l'image de [-2;0[ ?
Parce que c'est pas f([-2;0[) mais f^-1([-2;0[)

concernant ]-3;0], comment on fait si c'est pas monotone?

[Manny06]

Tu parles de quoi? De l'image de [-2;0[ ?
Parce que c'est pas f([-2;0[) mais f^-1([-2;0[)

concernant ]-3;0], comment on fait si c'est pas monotone?

je parlais de l'image de ]-3;0] qui est [-3;1]
f(x) varie d'abord de -2(non compris) à -3 puis de -3 à 1 (compris

[Yozamu]

Ah ok donc quand c'est pas monotone, il faut faire les encadrements pour chaque "portion" de courbe où la variation change(je veux dire, si sur l'intervalle, la fonction est croissante, décroissante, puis recroissante, on doit faire 3 encadrements c'est ça?) Et ensuite on prend les plus grandes valeurs en inférieur et en supérieur ?

Par contre, y a t il une méthode pour faire les f^-1 ? Parce que là moi pour f^-1([-2;0[), si elle est juste, c'est seulement un coup de chance, parce que j'ai simplement cherché quelles auraient pu etre les valeurs, sans méthode concrète...

EDIT: Et si possible, exceptionnelement, j'aimerais avoir la méthode pour calculer f^-1([-2;0[), parce que j'ai algèbre cet apres midi, et j'aimerais bien passer au tableau pour cet exo!

[Manny06]

Ah ok donc quand c'est pas monotone, il faut faire les encadrements pour chaque "portion" de courbe où la variation change(je veux dire, si sur l'intervalle, la fonction est croissante, décroissante, puis recroissante, on doit faire 3 encadrements c'est ça?) Et ensuite on prend les plus grandes valeurs en inférieur et en supérieur ?

Par contre, y a t il une méthode pour faire les f^-1 ? Parce que là moi pour f^-1([-2;0[), si elle est juste, c'est seulement un coup de chance, parce que j'ai simplement cherché quelles auraient pu etre les valeurs, sans méthode concrète...

pour f^-1
si tu dois trouver f^-1({4}) tu résous l'équation f(x)=4
si tu dois trouver f^-1 ([0;5] tu résous f(x)€[0;5]

[Yozamu]

Mais déjà, comment dois je faire, puisque j'ai toujours un (x+2)² qui me gène pour résoudre l'équation...
Et puis pour un intervalle, c'est plus compliqué, je vois pas trop comment faire .
Dans le cas de [0;5[ prenons, dois je faire f(x)=0 et f(x)=5 ?
Et ensuite mettre en résultat un intervalle avec les solutions tout en gardant l'orientation des crochets?

[Yozamu]

Ah oui, il faut faire delta, je trouvais pas le bon resultat parce que je faisais avec 4 au lieu de -4 donc je retrouvais pas le meme resultat!
Donc j'ai compris comment faire maintenant, reste le problème de l'orientation des crochets ?
Pour un intervalle [0;5[, imaginons:
Solutions de 0: 1 et 3
Solutions de 5: 2 et 5
Est ce qu'on a alors:
[1;2[u[3;5[, c'est à dire conserve t on les bornes?

[Manny06]

Ah oui, il faut faire delta, je trouvais pas le bon resultat parce que je faisais avec 4 au lieu de -4 donc je retrouvais pas le meme resultat!
Donc j'ai compris comment faire maintenant, reste le problème de l'orientation des crochets ?
Pour un intervalle [0;5[, imaginons:
Solutions de 0: 1 et 3
Solutions de 5: 2 et 5
Est ce qu'on a alors:
[1;2[u[3;5[, c'est à dire conserve t on les bornes?

cherches-tu f([0;5[) ou f^-1([0;5[) ?