Problème sur les distributions (Sobolev)

[melreg]

Bonjour,

Je commence la théorie des distributions et des espaces de Sobolev et me voilà déjà bloqué sur un exercice. Le voici.

Soit I un intervalle ouvert de et une distribution sur I.
Si T'=0, alors T est une fonction constante (où T' est la dérivée de T au sens des distributions).

J'ai déjà montré, et il faut l'utiliser ici:
Soit t.q. .
Alors, .
De plus, .

Voici la solution qui m'est proposée :

Soit . Alors

. Mais par hypothèse.

Jusque là, ça va, mais ce que je ne comprends pas, c'est la dernière phrase de la preuve:
D'où le résultat avec .

Merci de votre aide, j'en ai vraiment besoin!

[wajih]

pour la dernière frase, c'est la définition exacte de la dérivée au sens des distributions

[busard_des_roseaux]

par hypothèse.

bjr,
ça correspond à une intégration par parties. Les termes de bord sont nuls
car les fonctions à intégrer sont à support compact et le domaine est ouvert.

[melreg]

pour la dernière frase, c'est la définition exacte de la dérivée au sens des distributions

Euh... en fait je pense qu'il y a une identification, non? Par l'intermédiaire de

où est donnée par



L'application est injective de dans mais est-elle surjective? Autrement dit, est-ce que toute distribution T peut s'écrire sous la forme
pour une certaine fonction f et pour toute fonction dans ?

Est-ce quelqu'un comprend mon souci, ou c'est du charabia?
Merci de votre aide.

PS: busard_des_roseaux, la ligne que tu as copiée de mon texte, ne me pose pas de problèmes...

[melreg]

D'ailleurs est-ce que quelqu'un connait un site internet (genre chapitre d'un pdf), ou la théorie des distributions et les espaces de Sobolev sont bien expliqués (surtout un cours où cette matière ne fait pas office de rappel, ce qui est fréquent!)

Merci

[wajih]

l'application que tu as citée n'est pas surjective: au fait on montre que la distribution de dirac ne peut pas s'écrire de cette façon

[melreg]

l'application que tu as citée n'est pas surjective: au fait on montre que la distribution de dirac ne peut pas s'écrire de cette façon

Merci wajih pour cette précision. Mais du coup, ça confirme ma première interrogation : je ne comprends toujours pas pourquoi l'exercice est résolu.
Pour moi, la dérivée au sens des distributions d'une fonction est la fonction qui satisfait,


Finalement, dernière précision, est l'ensemble des fonctions à support compact dans I

[Doraki]

Une distribution constante c'est une distribution T telle qu'il existe un tel que
.

Or t'as déjà montré que si T' est la distribution nulle, avec ton lemme de décomposition, que

Donc t'as bien montré que T était une distribution constante car (au passage, corrige ton premier post, est une fonction, pas une distribution) est une constante.

[melreg]

Une distribution constante c'est une distribution T telle qu'il existe un tel que
.

Si c'est ça la définition, d'accord, j'ai montré ce qu'il fallait.
Mais est-ce que vous voyez pourquoi ça reste un peu confus dans ma tête ou vous n'avez jamais rencontré de difficulté à ce niveau là (même lors de vos débuts ! )

(au passage, corrige ton premier post, est une fonction, pas une distribution) est une constante.

Merci, c'est fait!

[Doraki]

Ben t'aurais quoi comme définition de distribution constante, à part ça ?

[melreg]

Ben t'aurais quoi comme définition de distribution constante, à part ça ?

Par exemple,
T est une distribution constante si

Mais en fait, je crois qu'en passant par une identification, on peut noter :



Toutefois, ce ne sont pas les mêmes définitions, non?

[Doraki]

f -> est supposé être une forme linéaire.
ce que ton f -> = C n'est absolument pas.

Par contre ton identification est bonne oui, c'est comme ça qu'on définit la distribution qui est censée représenter une fonction.

[melreg]

C'est vrai... je commence à y voir plus clair! Merci Doraki