Probleme sur un exo sur les Banach(theoreme du graphe fermé)

[ludo56]

Bonjour a tous,j'aurai besoin d'aide pour un exo :

Soit E un espace de Banach et T un operateur lineaire de E dans E qui envoie toute suite xn faiblement convergante vers 0 a une suite faiblement convergante vers 0 .
Mq T est continue .

Pour repondre a cette question je souhaite utiliser le theoreme du graphe fermé .

Donc je prend une suite (xn,yn) appartenant a G(T) (le graphe de T) qui converge fortement vers (x,y) dans E.
Le but est de montrer que x et y appartiennent a G(T) et que T(x) = y .

Donc soit f appartenant au dual de E .
D'après toutes les hypotheses on a :

f(Txn) converge vers f(y)
f(txn) converge vers f(Tx)

Par unicité de la limite f(y) = f(Tx)
Voila a quoi j'abouti .
Pour avoir y=Tx je pense qu'il faudrait que f soit injectif .. Dond j'arrive pas a conclure . D'autre part comment montrer que x ou y appartiennent a G(T) ??

Je vous remercie d'avance pour votre aide en esperant avoir été clair !

[Joker62]

Haileau

On suppose T non continue
On a donc l'existence d'une suite xn qui converge fortement vers x tel que T(xn)=yn ne converge pas vers T(x) = y

On pose hn = xn - x qui converge fortement vers 0 et donc faiblement vers 0
En particulier T(hn) est une suite qui converge faiblement vers 0

d'où yn - y converge faiblement vers 0 C'est absurde par unicité de la limite non ?

[ludo56]

Oui oui sa a l'air bien mais dans l'exo il est qpécifié d'utiliser le théoremedu graphe fermé . Mais apparemment ma conclusion suffirait a répondre a la question puisque quelqu'un ma dit que le dual topologique separe les points .. Quelqu'un en saurait il plus sur le sujet ?

[ThSQ]

Une façon de lire le T. du Graphe fermé est : avec x_n -> x, si f(x_n) converge vers un truc il suffit de vérifier que truc = f(x).

Donc effectivement comme les formes "séparent les points" la limite ne peut être que f(x)

[Joker62]

Et le fait qu'il sépare les points vient de Hahn-Banach.

On prend x != y on a ||x-y|| > 0
Il existe une forme linéaire Phi de norme 1 tel que Phi(x-y) = ||x-y|| et c'est fini.