Problème de suites

[Anonyme]

Bonsoir!

Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice, s'il vous plaît...

Dagobert adore jouer avec ses pièces de monnaie, dont il possède entre un et deux millions. Un jour il s'aperçoit qu'il peut les arranger en un carré et un triangle. Combien a-t-il de pièces de monnaie?

1. Soient a, b N tels que {1,-1} et :=a+2b, :=2b-a, :=a+b et :=a-b. Alors, {1,-1} et {1,-1}.
De plus, si a et b sont strictement positifs, alors 0 .

2. On définit les deux suites (), n N, et (), n N comme suit: on pose :=1 et :=0 et pour tout n N on pose :=+2 et :=+.
Montrer que {(x,y) NxN t.q. {1,-1} }={(,) t.q. n N}.

3. Répondez à la question ci-dessus en utilisant le fait ci-dessous.
Fait: Si x,y sont des entiers positifs premiers entre eux tels que xy est un carré alors x et y sont aussi des carrés.

J'ai déjà réussi à prouver que {1,-1} et que {1,-1}, mais je ne parviens toujours pas à montrer que si a et b sont strictement positifs, alors 0 .

Je vous remercie d'avance de votre aide!

[Anonyme]

Bonjour...

Il me semble que mon problème ne vous inspire pas :triste: ...

Je suis toujours bloquée au même niveau. Cependant, je voudrais préciser que le nombre de pièces est compris entre un million et deux millions...
Peut-être que ceci vous aidera...

Merci de bien vouloir m'aider

NB: Pourriez-vous me répondre avant mardi 08/11/2005 s'il vous plaît...

[Anonyme]

Bonjour...
J'ai réussi à résoudre le point 2) de ce problème.
Je ne parviens pas à mettre les donées en équation de manière à répondre au 3) de cet exercice...
L'un d'entre vous aurait-il une idée?
Merci d'avance...
PS: Je commence à me sentir toute seule ici.... :triste:

[boulay59]

Bonjour,

Tu peux déjà montrer que et équivaut à
Puis tu peux essayer par l'absurde (il faudra utiliser le fait que a>0 et b>0, c'est à dire a>=1 et b>=1 car a et b sont naturels)

[Anonyme]

Merci beaucoup boulay59 j'y suis arrivée...:++:

Il ne me reste donc plus que le 3)... Si quelqu'un à une idée je suis preneuse... :langue2:

Merci encore

[Anonyme]

Bonsoir!

Pour résoudre le 3), je dois apparemment trouver un nombre carré triangulaire mais le problème est qu'en appliquant la formule des nombres carrés triangulaires, je n'utilise pas le "Fait" et je ne répond donc pas correctement à la question... Quelqu'un aurait-il une idée sur la méthode à utiliser pour répondre à la question 3 en utilisant le "Fait"??? :help:

Merci

[palmade]

Un nombre triangulaire T(n) est la somme des entiers de 1 à n et on a
T(n)=1+...+n=n(n+1)/2
Si n est pair, n=2p, T(2p)=p(2p+1) : p et 2p+1 sont premiers entre eux
si n est impair n=2p-1, T(2p-1)=p(2p-1) : p et 2p-1 sont premiers entre eux
En vertu de "fait" de l'énoncé T(n) sera un carré si ses deux facteurs premiers entre eux sont des carrés soit p=b² et 2p+/-1=a² soit
a²-2b²=+/-1
Comme T(n) est compris entre 1 et 2 millions n est compris entre 1414 et 1999 donc p entre 707 et 1000 donc b entre 27 et 31
Il suffit alors de calculer les termes de la suite an,bn:
(1,0)(1,1)(3,2)(7,5)(17,12)(41,29) pour obtenir la solution:
n=41²=1681, (2n+1)/2=29²=841, T(1681)=1681*841=1413721=1189²

[Anonyme]

Bonjour palmade...

Je te remercie de m'avoir apporté tes lumières! J'ai tout compris...:happy: