Problème et Suites.

par **bart22** » 25 Sep 2008, 19:29

Bonsoir,
Voici un problème que je n'arrive pas à résoudre entièrement. De l'aide serait la bienvenue.

Soit Hn= 1 +1/2 +1/3 +...+1/n

Montrer que quelque soit n appartenant à N*

La somme (allant de k=1 à n) de Hk = (n+1)Hn-n.

Je ne vois pas comment faire, une aide serait la bienvenue. Merci d'avance.

par **Maxmau** » 25 Sep 2008, 19:39

Bj

Essaie une preuve par récurrence

par **bart22** » 25 Sep 2008, 20:02

En faisant par récurrence:

Je suppose que Somme de Hk = (n+1)Hn-n
Je veux montrer que Somme de Hk (allant de k=1 à n+1) = (n+2)Hn+1 -(n+1).

Or Somme de Hk (allant de k=1 à n+1) = Somme de Hk (allant de k=1 à n) + Hn+1.

=(n+1)Hn+ Hn+1 -n
=(n+1)(1+1/2+1/3+...+1/n) + (1+1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1)) -n
=(1+1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1))(n+1+1-1) -n.
=Somme de Hk (allant de k=1 à n+1) (n+1)-n.

Mais je ne retombe pas sur ce que je veux trouver.

???

par **fatal_error** » 25 Sep 2008, 20:20

Salut,

j'ai pas compris la troisieme ligne.
Toutefois, jpropose une alternative à la méthode de Maxmau.
En ecrivant les termes on a

Pis après on peut jouer sur les indices.

On a pu grouper les termes car n était fixé (pas l'infini en gros)

par **bart22** » 25 Sep 2008, 20:29

Je crois que j'ai compris le raisonnement mais je ne vois pas comment revenir à

(n+1)Hn-n ?

par **bart22** » 25 Sep 2008, 20:50

Finalement j'ai réussi à retrouver mais par récurrence ;)

par **fatal_error** » 25 Sep 2008, 21:05

Bravo :we:
Sinon:

Problème et Suites.

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