Probleme suite et application continue

[sarah79]

Bonjour,

je suis en première année de licence de math et j'ai un souci pour un exercice que je dois faire. Pouvez vous m'aider?
Je copie l'énoncé et les questions que je n'arrive pas a faire.

Soit a un nombre réel et (un) le suite définie par u0=a et pour tout n appartient N: u(n+1)=un/(1+un²)

1. Montrer que la suite (|un|)est décroissante de limite 0.
2. Soit f: R->R une application continue vérifiant pour tout x appartenant a R : f(x/(1+x²))=f(x).
a) pour a appartenant à R on considère la suite définie ci-dessus. Montrer qu'on a pour tout n : f(un)=f(a). En déduire que f(a)=f(0).


Pour la première question j'ai cherché le signe de u(n+1)-un pour montrer que c'était négatif et donc décroissant mais comme on ne sait pas si (un) est positif ou non je ne vois pas comment on peut faire.

Merci d'avance.

[barbu23]

Bonjour,

je suis en première année de licence de math et j'ai un souci pour un exercice que je dois faire. Pouvez vous m'aider?
Je copie l'énoncé et les questions que je n'arrive pas a faire.

Soit a un nombre réel et (un) le suite définie par u0=a et pour tout n appartient N: u(n+1)=un/(1+un²)

1. Montrer que la suite (|un|)est décroissante de limite 0.
2. Soit f: R->R une application continue vérifiant pour tout x appartenant a R : f(x/(1+x²))=f(x).
a) pour a appartenant à R on considère la suite définie ci-dessus. Montrer qu'on a pour tout n : f(un)=f(a). En déduire que f(a)=f(0).


Pour la première question j'ai cherché le signe de u(n+1)-un pour montrer que c'était négatif et donc décroissant mais comme on ne sait pas si (un) est positif ou non je ne vois pas comment on peut faire.

Merci d'avance.

Oui, mais, pourquoi veux tu savoir si est positive ou negative ? ici tu fais l'etude de la suite qui est toujours positive et non de parce que c'est la valeur absolue d'une suite et comme tu sais la valeur absolue d'une suite est toujours positive.
Pour montrer que tend vers , tu poses : tu as donc donc, s'ecrit comme ça : avec
pour trouver la limite de cette suite, tu appliques directement un resultat tu as dans ton cours ! revois ton cours pour que tu comprennes le principe ! :happy3:

[sarah79]

j'ai donc réussi a montrer que |un| est décroissante et je suppose qu'il faut dire que |un| décroissante et minorée donc |un| convergente et lim|un|=inf|un|=0 c'est bien cela?

[barbu23]

Non, il n'y'a rien à inventer, il suffit juste d'appliquer le theorème :
Tu regardes par exemple ici :
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/sr/node8.html
ou bien si tu n'aimes pas ce qui est dit sur cette page, tu fais une recherche sur google : tu tapes , suite recurrente, et là tu choisis le genre de lecture qui te plait , mais ça revient au même car c'est le même resultat. :happy3:

[sarah79]

je suis désolé c'est peut etre tout simple mais je ne comprends pas ce qu'il faut dire. C'est parce que vn=f(un) est une suite récurrente et décroissante que sa limite est 0 ?? Comment montrer que c'est 0?

[sarah79]

je pense avoir compris il faut mettre que |un+1|=f(|un|) et que sa limite l, si elle existe vérifie l=l/(1+l²) et on trouve l=0.
c'est ça?

[Finrod]

Une fois que tu sais qu'elle convergente, c'est comme cela que tu calcules la limite, oui.

@barbu : On dirait bien que le thm avec les suites adjacentes n'est pas dans son cours, au moins pour le moment. Sinon on ne lui demanderait pas détudier la suite en |-| (qui contourne la question).

[sarah79]

C'est bon j'ai compris comment rédiger et résoudre la première question. Mon cours n'est pas très clair car notre prof fait son cours dans son coin mais ne prend pas le temps de tout expliquer. Pour la question 2 comment faut-il procéder?