Problème en rapport avec dérivé partielle

[Matt2000d]

Bonjour, actuellement en prepa scientifique je n'arrive pas à répondre à cette question :

Déterminer toute les fonctions f : R×R->R qui vérifient:

D correspond au dérivé partielle

D^2f/Dx^2(x,y)+4Df/Dx(x,y)+13f(x,y)
=13xy^2+13x^2+8x+2

Et pour tout y appartenant à R on a f(0,y)=-4/13y^2

Merci d'avance pour votre aide

[issoram]

Bonjour,

Tes dérivées partielles ne sont que par rapport à x. Tu peux donc considérer cette équation comme une équation différentielle (linéaire) du second ordre, en x....

Est ce que ça t'aide à avancer?

[tournesol]

Il s'agit en effet d'une équa diff paramétrée par y et selon les valeurs du paramètre y , les solutions sont de telle ou telle forme...

[mathelot]

Bonjour,
on cherche les solutions de l'équation homogène (*)

L'équation associée, d'inconnue z, est



qui a pour solutions:


La solution générale de l'équation (*) sans second membre est:
où A et B sont des fonctions quelconques
de la variable .

[mathelot]

L'équation avec second membre s'écrit

(**)

On cherche une solution particulière g de l'équation avec second membre sous la forme:






où A,B,C sont des polynômes de la variable y.
On remplace f par g dans l'équation (**)



on identifie les deux membres:











Au final, on trouve:
et et

La solution générale de l'équation (avec second membre) est:


où A et B sont des fonctions quelconques de la variable y.

[mathelot]

La solution générale de l'équation (avec second membre) est:


où A et B sont des fonctions quelconques de la variable y.

Avec la condition initiale
il vient:




Les solutions de l'équation, avec second membre, sont de la forme:

[mathelot]

Et pour tout y appartenant à R on a f(0,y)=-4/13y^2

On a besoin d'une deuxième condition initiale pour déterminer B(y).