Problème de probabilités

[Benjamin]

Bonjour,

Je n'ai jamais été bon en calculs de probabilité, je ne "vois" pas les choses et les façons de procéder. Je suis face à un problème où je ne sais pas du tout par quel bout le prendre.

On a 2 rangées de N tiroirs numéroté de 1 à N (dans l'ordre). Chaque tiroir peut contenir exactement 0 ou 1 clé.
Pour chaque rangée, je connais la probabilité d'avoir 0 clé, 1 clé, 2 clés etc... M clés sur la rangée, avec M < N, pour chaque m de 0 à M. Ces probabilités sont les mêmes pour les 2 rangées.
Il n'y a pas de tiroirs préférentiels pour les clés (sans toutefois oublier qu'il ne peut y avoir plus d'une clé par tiroir). Par exemple, pour le cas m=1, chaque tiroir possède 1 chance sur N d'avoir la clé.

La question : soit l'événement : il y a X clé(s) qui sont dans un(des) tirois des mêmes numéros entre les rangées 1 et 2. Il faut donc pour chaque X entre 0 et M que je trouve la probabilité d'avoir X clés sur la rangée 1 aux mêmes positions que X autres clés sur la rangée 2.

Merci d'avance pour votre aide, n'hésiter pas si vous avez des questions d'éclaircissement.

[beagle]

Cela revient-il à choisir m nombres dans 1 à n.(première rangée)
Puis proba de tirer X nombres dans ces m (deuxième rangée)?

[Ben314]

Salut,
J'aurais tendance à penser que, si on ne suppose pas qu'il y a indépendance entre les répartitions des clef dans le premier tiroir et le deuxième tiroir, on ne pourra pas calculer la proba demandée.
Tu sais si c'est indépendant ou pas ?

[Benjamin]

Oui c'est indépendant. Une autre façon de voir les choses : on a une expérience de remplissage aléatoire d'une rangée de tiroir. On répète deux fois de suite l'expérience de façon indépendante. On compte le nombre de fois où on a un même tiroir avec une clé entre les deux expériences. On veut la probabilité où ce nombre de fois est 0, 1, 2, etc.... M. C'est plus clair ?

[Ben314]

J'aurais pas dit que c'était "pas clair", mais plutôt "pas suffisant pour conclure".

Donc en résumé, tu as deux variables aléatoires X et Y à valeur dans (ensemble des parties de ) telles que, pour tout on ait qui ne dépende que du cardinal de .

Et tu voudrait connaitre la loi de

[Benjamin]

Pour répondre à ce que dit beagle, remplir une rangée revient en effet à choisir M nombre différents dans [|1;N|] de façon uniforme, sachant qu'en plus il y a une loi de probabilité connue qui dit si on aura 0 nombre choisi, 1 nombre choisi, etc...
On compte les nombres choisis identiques entre les 2 "tirages" indépendants.

[beagle]

ben cela pourrait ressembler à choisir x dans m fois choisir (m-x) dans les (n-m) divise choisir m dans n ?

oups!, ça c'est le mème M dans les deux rangées.
donc p(M) fois ce truc,
reste les autres héhé...

[Ben314]

En notant le complémentaire de dans et le cardinal de on a :

et la décomposition de et sous cette forme est unique. Donc

via l'indépendance de et

[Benjamin]

Merci Ben, ce que tu as fait est à peu près clair dans ma tête.
C'est fort, il n'y a même pas besoin de passer par le détail de ce que peuvent être les différents A de cardinal identique. J'étais loin de pouvoir trouver ça. Je vérifierai la formule pour des cas simples avec M=1 ou N = 2 ou 3 pour voir si ça colle.

[Benjamin]

Bonjour,

J'ai l'impression qu'il y a un petit soucis dans le calcul, ou alors je me trompe quelque part.
Si je prends N=3 et M=1, et que je fixe p(0)=0.7, p(1)=0.3, p(2)=0 et p(3)=0.
Mon expérience de remplissage me donne 4 sorties possibles avec les probabilités suivantes :
T(0)=0.7 (aucun tiroir rempli)
T(1)=0.1 (clé dans tiroir 1)
T(2)=0.1 (clé dans tiroir 2)
T(3)=0.1 (clé dans tiroir 3)
On répète cette expérience 2 fois, ce qui fait 16 possibilités.
T1(0)T2(0)=0.49
T1(0)T2(1)=0.07
T1(0)T2(2)=0.07
T1(0)T2(3)=0.07
T1(1)T2(0)=0.07
T1(1)T2(1)=0.01
T1(1)T2(2)=0.01
T1(1)T2(3)=0.01
T1(2)T2(0)=0.07
T1(2)T2(1)=0.01
T1(2)T2(2)=0.01
T1(2)T2(3)=0.01
T1(3)T2(0)=0.07
T1(3)T2(1)=0.01
T1(3)T2(2)=0.01
T1(3)T2(3)=0.01
La probabilité d'avoir 1 clé dans un tiroir commun entre les 2 tirages est la somme des cas T1(1)T2(1), T1(2)T2(2) et T1(3)T2(3) soit 0.03.
Avec ta formule, je trouve 0.09. Où est le bug ?

[Ben314]

Il faut faire attention à ce que, dans mes notations, pour n'importe quel de cardinal et que la formule de mon précédent post. donne .
Alors qu'il semblerait que tes "données de départ" soient plutôt les et que ce que tu cherche a évaluer soit plutôt .

Ca ne change pas grand chose sur le principe vu que et que .
Par exemple, dans l'exemple que tu donne, on a ; ; donc ; et la formule du post ci dessus donne pour
vu que pour
Et donc

En général, en l'écrivant avec les plutôt que les , la formule du post précédent dit que

[Benjamin]

Ok, c'est exactement ça ! Merci. J'avais zappé cette distinction entre p'_a et p_a.