Problème de probabilités/statistique inspiré du réel

[Maneki]

Bonjour,

Je suis un chimiste qui a besoin de mathématiciens pour savoir comment (bien) faire manip. Je tiens donc à remercier par avance tous ceux qui prendront le temps de me lire et de réfléchir à ce problème tiré d'une situation réelle.



Voici les donnés du problème :

Je possède deux produits [b]A[/b] et ]--[b]B--[[/b] avec les propriétés suivantes :

- Les molécules de ]--[b]B--[[/b] sont linéaires.
- Une molécule de ]--[b]B--[[/b] est Capable de fixer jusqu'à deux molécules de [b]A[/b] : [b]A[/b]]--[b]B--[[/b][b]A[/b]
- Cette fixation est irréversible.
- Une molécule de [b]A[/b] ne peut pas se fixer sur un emplacement déjà occupé. Par contre, la fixation d'une molécule de [b]A[/b] sur une extrémité de ]--B--[ ne dépend pas de l'état de l'autre extrémité.
- La réaction est totale. C'est à dire que chaque [b]A[/b] va trouver son emplacement sur un ]--[b]B--[[/b], dans la limite des stocks disponibles.
- La réaction est instantanée ou quasi-instantanée, c'est vous qui choisissez.

Soient Na le nombre de molécules de [b]A[/b] et Nb le nombre de molécules de ]--[b]B--[[/b].
Soient NP1 et NP2 le nombre de molécules de produits formés où P1 est le produit [b]A[/b]]--[b]B--[[/b] et P2 le produit [b]A[/b]]--[b]B--[[/b][b]A[/b].

Ma question :

1. J'aimerais calculer le rapport NP2/NP1 en fonction du rapport Na/Nb dans le cas où Nb >= 1/2 Nb, c'est à dire dans le cas où il y a suffisamment de sites de type ]--B... disponibles pour fixer l'ensemble des [b]A[/b] disponibles.

Solutions triviales :

1. Tous les cas où Nb < 1/2 Na : On fixe deux molécules de A par molécule de B et il reste un excès de A. Inutile de faire appel aux statistiques.

2. Le cas où il y a infiniment plus de B que de A : On ne fixe qu'une molécule de A par molécule B et il reste une infinité de B en excès.

Ce qui appel une deuxième question :

Imaginons que le produit A coûte cher et que seul le produit P1 m'intéresse.
On peut exprimer le coût de A en fonction du coût de B : Ca = x*Cb

On définit les coûts suivants :

CP1 = Ca + Cb
CP2 = 2*Ca + Cb

J'aimerais trouver le meilleur mélange tel que je récupère un maximum du coût de mon mélange de départ sous forme de produit P1.

C'est à dire tel que [(Ca*Na + Cb*Nb) - (Ca + Cb)*NP1] soit minimum.

Encore merci à ceux qui m'ont lu jusqu'ici et qui prendront le temps de me répondre. S'il faut plus d'informations, demandez-moi.

[Doraki]

La probabilité qu'une molécule A se fixe sur un site particulier d'une molécule B est p = NA / 2NB.
De là tu peux dire que tu te retrouves après le mélange avec
p²*NB molécules A)-B-(A
2*p*(1-p)*NB = (1-p)*NA molécules A)-B-(
et (1-p)²*NB molécules )-B-(

La suite j'ai pas trop suivi mais ça devrait pouvoir te faire avancer.

[Maneki]

Merci pour ta réponse ! Je ne savais pas par où aborder le problème et ça me débloque un peu.
Par contre, j'essaie de comprendre mais j'arrive pas tout à fait au même résultat. Pourrais-tu me dire où est mon erreur ?

J'ai 2Nb sites disponibles. Donc, la probabilité qu'une molécule A se fixe sur un site B est 1/2Nb.
Et comme j'ai Na molécules A, la probabilité que l'une d'entre elles se fixe sur un site B donné est Na/2Nb.

Ok.

Si je choisis deux sites sur une molécule B, chacun a une probabilité p d'être occupé en fin de réaction et une probabilité 1-p de ne pas être occupé.

Donc, la probabilité qu'une molécule B ait ses deux sites occupés en fin de réaction est p², soit au total p²*Nb molécules.

La probabilité qu'une molécule B ait un seul site occupé en fin de réaction est p*(1-p) soit au total p*(1-p)*Nb Molécules

La probabilité qu'une molécule B ait deux sites libres en fin de réaction est (1-p)² soit au total (1-p)² Molécules.

Mais j'ai dû manquer quelque chose, non ?

D'autant plus que si je fais la somme de mes probabilités j'obtiens :

(Na/2Nb)² - Na/2Nb + 1

[Doraki]

La probabilité qu'une molécule B ait un seul site occupé en fin de réaction est p*(1-p) soit au total p*(1-p)*Nb Molécules

C'est là que t'oublies un truc :
Il y a deux manières d'avoir un seul site occupé :
A)-B-( (p*(1-p)*Nb)
et
)-B-(A ((1-p)*p*Nb)

Il faut compter les deux, et après ça, tout devrait marcher parceque
1 = 1² = (p + (1-p))² = p² + p(1-p) + (1-p)p + (1-p)²

[Maneki]

En attendant de trouver mon erreur, j'ai utilisé tes résultats pour calculer le ratio NP2/NP1 (ratio de produit Bis sur mono)

Je trouve :

NP2/NP1 = Na/(4Nb - 2Na)

Qui colle plutot bien avec les solutions triviales :

Si je fais le mélange NB = 1/2 * NA, normalement, la réaction est complète et je ne forme que des composés P2. Donc NP2/NP1 = quelque chose / 0

Je trouve NP2/NP1 = Na / 0

Mais si je cherche à calculer ce quelque chose, là, c'est pas bon. Normalement, je forme NP2 = 1/2 Na donc, je devrais avoir

NP2/NP1 = (1/2 * Na) / 0

Est-ce que c'est normal ? Est-ce juste un problème à la limite ?

[Maneki]

C'est là que t'oublies un truc :
Il y a deux manières d'avoir un seul site occupé :
A)-B-( (p*(1-p)*Nb)
et
)-B-(A ((1-p)*p*Nb)

Il faut compter les deux, et après ça, tout devrait marcher parceque
1 = 1² = (p + (1-p))² = p² + p(1-p) + (1-p)p + (1-p)²

Ah, oui !!! Merci ! Effectivement ! Je considère que chaque site est unique, donc il y a bien 2 façon d'obtenir le composé mono.
p*(1-p) + (1-p)*p = 2p(1-p) on retrouve ton résultat ! Merci beaucoup !