Problème de probabilité

[Sara1999]

Bonjour, je n’arrive pas à trouver la bonne piste de résolution pour ce problème.
Il s’agit d’un jeu de 52 cartes, 4 couleurs, 13 carreaux, 13 coeurs, 13 piques et 13 trèfles. Quel est le nombre n de cartes à choisir pour maximiser la probabilité de l’événement suivant: obtenir exactement 3 couleurs.
Merci de votre soutien.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Moi, je commencerais par me demander quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 couleurs en tirant k cartes.
Après, je pourrais choisir le k pour maximiser la probabilité.

[Sara1999]

C’est ce que j’ai essayé de faire, j’ai pris l’exemple de k=5. Et j’ai essayé de trouver le nombre de triplets (x,y,z) tels que x+y+z= 5 avec 0<x,y,z< 5 . Est ce que c’est le bon chemin ? Merci .

[GaBuZoMeu]

Je ne vois pas trop où tu vas comme ça.
J'essaierais déjà de compter le nombre de mains de k cartes qui ont au plus 3 couleurs.

[Sara1999]

Avec l’événement contraire, cela donne le nombre de mains de k cartes qui ont les 4 couleurs. Si c’est correct comment les dénombrer. Je ne vois pas encore de façon claire la méthode à suivre.

[GaBuZoMeu]

Commençons petit. Combien y a-t-il de mains de k cartes ne contenant aucun coeur ?

[tournesol]

Je vous suis car l'exo me plait mais il ne me parait pas trivial.

[GaBuZoMeu]

On peut essayer une autre voie, si tu es plus à l'aise avec.
Notons (resp. , ) la probabilité qu'un main de cartes contienne 3 couleurs (resp. 2 couleurs, 1 couleur).
On a bien évidement . Peux tu calculer à partir de ?

[Sara1999]

Est ce que p(k+1)=p(k)+(1/2) q(k) ?
Car soit k cartes portent les 3 couleurs et la (k+1) ième porte la couleur restante, soit k cartes portent 2 couleurs et la (k+1) ième porte une couleur parmi les deux restantes.
Merci de me corriger si je me trompe.

[GaBuZoMeu]

Tu te trompes.
On a une main de k cartes. On tire une nouvelle carte, et dans la main de k+1 cartes on a exactement 3 couleurs.
C'est
- ou bien que dans la main de k cartes il y avait 2 couleurs et on a tiré une carte d'une couleur différente,
- ou bien que dans la main de k cartes il y avait 3 couleurs et on a tiré une carte d'une de ces couleurs..
Ensuite, il reste à quantifier correctement du point de vue probabiliste. Tes coefficients 1 et 1/2 ne vont pas du tout.

[Sara1999]

Je vois que je me suis trompée dans le raisonnement, est ce que les coefficients dépendent de k?

[Sara1999]

S’il vous plait indiquez-moi juste le coefficient de p_k ou de q_k, j’essaierai de compléter, car il se peut qu’il y ait une faille dans mon raisonnement, et que je n’arrive pas encore à voir. Merci d’avance.

[GaBuZoMeu]

est ce que les coefficients dépendent de k?

Oui, bien sûr.
Supposons que la main de k cartes contienne 2 couleurs.
Combien reste-t-il au total de cartes en dehors de la main ?
Parmi ces cartes qui restent, combien y en-a-t-il qui, ajoutées à la main de k cartes, donneront une main de k+1 cartes avec 3 couleurs ?

[Sara1999]

26/(52-k)
Est ce donc : p(k+1)=((39-k)/(52-k) )p(k)+((26/(52-k))q(k)
Merci de me corriger une autre fois.

[GaBuZoMeu]

Oui, pour k inférieur ou égal à 39.
Je pense que tu peux continuer.

[tournesol]

Même jusqu'à 51 . à partir de 39 on aura pk=qk=rk=0

[Sara1999]

Merci beaucoup, je vais déterminer aussi q(k+1) et r(k+1) que je soumettrai pour avoir une validation avant de continuer.

[Sara1999]

Voici ce que j’ai trouvé :
q(k+1)=((26-k)/(52-k))q(k)+(39/(52-k))r(k)
r(k+1)=((13-k)/(52-k))r(k).

Mais est ce que là k doit être <=13. Merci.

[GaBuZoMeu]

tournesol te dira que vu que ça n'a pas d'importance.
De même .

[Sara1999]

Effectivement,
si k>39 alors p(k)=q(k)=r(k)=0
Si 26<k<=39 alors q(k)=r(k)=0
Si 13<k<=26 alors r(k)=0
Si k<=3, p(k), q(k),r(k) non nuls.

Maintenant faut-il écrire un programme pour déterminer k ?